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会员注册内容提要：以类似投入产出的方法，采用商品—生产过程模式对n种商品的联合生产进行了定义并建立起方程组，在实物量的基础上导入了价格、利率因子、生产强度以及经济扩张系数等概念，采用单纯形等线性规划的方法，并结合拓扑学的凸集与聚点的思想，利用布劳威尔不动点定理进行了论证与求解(鞍点的值)。由此揭示了联合生产的重要特征，求出了在不考虑价格情况下的最大经济扩张因子，以及在不考虑生产强度情况下的最低利率因子。
关键词：联合生产/博弈论/单纯形/不动点定理作者简介：[美]冯·诺依曼，(1903-1957)，男，美国普林斯顿大学终身教授。
本文的目的是求解典型的经济学方程系统，该系统具有如下性质：
(1)商品不仅是从“产品的自然要素”中生产出来的，而且首先是相互生产出来的。这些生产的过程可能是循环的，即商品
由商品
的协助来生产，而又由的协助来生产。(2)也许在技术上可能的生产过程比商品还多。基于这一原因，“方程的个数”是起不了什么作用的。
这里的问题在于确定哪些过程是实际上被使用的，而哪些过程是不被使用(即“无利可图”)的。为了便于讨论上面的(1)和(2)两点，我们将对其他要素予以理想化(见本文第1部分和第2部分)。这些理想化处理大多数是不相关的，但这里不准备讨论这个问题。
我们提出问题的方式必然导致本文第3段中的不等式系统(3)—(8')。这一系统的解的可能性并不明显。也就是说，它不能被任何定性论证所证明。只有通过布劳威尔不动点定理的一般化，即通过使用非常基本的拓扑方法，这一数学证明才是可能的。这种一般化的不动点定理(第7部分的“引理”)本身也很有趣。
初看起来，与拓扑学的联系或许会令人觉得不可思议，但是笔者认为这种问题是很自然的。其直接原因是有一定的“最小—最大”问题的发生，来自我们熟悉的变分法。我们目前的问题是用公式表示在第5部分中的最小—最大的问题。
一个对函数(X，Y)的直接解释将会是令人十分满意的。其作用与现象热力学中的热力势相似；可以推测，该相似性将持续存在于完整的现象学通则之中(独立于我们严格的理想化条件)。
最后，如下所示，第11部分中的结果受到人们的关注，除其他事项外，正常的价格机制带来了——如果我们的假设是有效的——技术上最有效的生产强度。这似乎是合理的，因为我们已经消除了所有由货币引出的复杂性。
(a)m＞n是可能的，此时不可能通过通常的方程计算来求解。
为了避免进一步复杂化，我们假定：
(b)(规模)收益不变。
(c)生产的自然要素，包括劳动力可以无限地扩张。
我们需要把握的关键现象是：商品是相互生产的，见下面的方程(7)，并且我们希望确定：(i)哪些过程将被使用；(ii)产品总量增加的相对速度是多少；(iii)将取得怎样的价格；(iv)利率将是多少？为了完全孤立这一现象，进一步假定：
(d)商品的消费仅仅通过生产过程来进行，包括工人和雇员的生活必需品消费。
需要注意的是：
(e)把资本品插入公式(1)的两边；资本品的磨损体现在不同商品的不同阶段上，分别使用单独的
来进行描述。(f)每个过程采用单位持续时间。如果必要的中间产品作为附加品的话，持续时间较长的过程被分解成单个过程的单位持续时间导入。
(g)公式(1)可以用来描述一种特殊情况，其中，产品
只能够与某些其他产品(即它的永久的联合产品)一起被联合地生产出来。
因此：
第二，如果我们的问题是可解的，也就是说，如果
并且
这两个结果可以表示如下：
如果不考虑价格，则整个经济的最大的(纯粹技术上可能的)扩张因子α'是α'=α=β。
如果不考虑生产强度，则一个无利润的价格体系可能的最低利率因子β'是β'=α=β。
注意，这些特征仅仅在下述知识基础上才是可能的：我们初始问题的解是存在的——在他们自身没有直接涉及这一问题的情况下。进一步说，第一种形式的最大化和第二种形式的最小化的相等也只有在这个解是存在的基础上才可以被证明。