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会员注册内容提要：本文以华罗庚命题为出发点，应用摩尔—彭诺斯伪逆的性质，在投入和产出矩阵的秩条件下，明示了拥有矩形系数矩阵的马克思—斯拉法联合生产体系的均衡价格及均衡数量的求解问题可归结于求一类含有伪逆的方阵特征值问题，并通过具体的数值例证了马克思—斯拉法体系价格均衡和数量均衡的动态不稳定性。
关键词：固定资本 马克思—斯拉法模型 摩尔—彭诺斯伪逆 特征值问题
作者简介：李帮喜，早稻田大学政经学院博士研究生；藤森赖明，早稻田大学政经学院教授
一、引言
华罗庚教授[1][2][3][4][5][6]在社会主义经济大范围最优化的数学理论中，以不含固定资本的里昂惕夫投入产出模型为对象，通过求一类方阵特征值问题，证明了生产价格均衡系统虽然稳定，但数量均衡系统不稳定的“对偶不稳定性”命题，并通过具体的数值例进行了例证。本文从华罗庚命题出发，以包含固定资本乃至更为一般的联合生产体系为对象，具体分析这类价格和数量均衡的求解问题及其动态稳定性的特征。
斯拉法[7]在较早时期就对联合生产体系下的固定资本问题进行了一些初步的探讨，首次将固定资本的役龄(或年龄)概念引入到联合生产体系的分析中。①置盐—中谷[9]及中谷[10]在工资预付的前提下对包含固定资本的多部门线性经济模型进行了较为系统的分析和总结。②本文将存在联合生产的生产过程，工资为预付，并以等式来定义均衡的多部门线性模型称为马克思—斯拉法模型。[7][13]③置盐—中谷将包含旧固定资本的马克思—斯拉法体系简化成仅含新品的里昂惕夫推广体系，证明了不含旧固定资本而只存在新品的体系下也可决定平均利润率这一命题。④但置盐—中谷的简化方法只对仅固定资本为联合生产物的情形才能适用，而不能适用于存在多个联合生产物的更为一般的联合生产体系，而且置盐—中谷的简化方法忽略了原马克思—斯拉法体系所具有的动态特性。
本文针对以上问题，考察如何对一般的联合生产体系的均衡问题进行求解，以及如何将其直接变换为一类求方阵特征值的问题。涉及的联合生产体系不限于仅固定资本为联合生产物的情形，而是基于拥有矩形系数矩阵的马克思—斯拉法模型，应用摩尔—彭诺斯(Moore-Penrose)伪逆的性质，对均衡价格体系和均衡数量体系进行一个系统分析。最后，通过具体的数值计算例来验证以上的理论结果。
二、马克思—斯拉法模型与特征值问题
(一)基本框架
不考虑非生产性消费，令生产价格向量为p，投入系数矩阵为A，产出矩阵为B，劳动投入向量为L，工资品向量为f，平均利润率为r，生产价格体系的均衡方程式可表示为，
pB=(1+r)pM(1)
在此，
M=A+fL(2)
M为增广投入系数矩阵。
同样令活动水平向量为x，平均增长率为g，数量体系的均衡方程式可表示为，
Bx=(1+g)Mx(3)
假设m×n阶的矩形投入矩阵M和产出矩阵B满足以下条件：
rank(B)=rank(M)=m=min(m，n)(4)
生产价格p和活动水平x的定义式可简单表示为，
pB=αpM(5)
Bx=βMx(6)
当然，本文均以非平凡解为讨论的对象。
(二)奇异值分解与伪逆
令以B，M的奇异值为对角元素的矩阵分别为∑、Λ。由B、M的秩条件可知，
rank(∑)=rank(Λ)=m
可利用适当的正交矩阵U、V、S、T得出B、M的奇异值分解。
取一组适当的非奇异矩阵X，G，Y，对B的奇异值分解施以适当的非奇异变换，可将B分解为，
B=X(G O)Y(16)
这里的G是m阶非奇异矩阵。显然可知，
(八)马克思—斯拉法均衡的特征值问题
应用摩尔—彭诺斯伪逆的性质来求马克思—斯拉法模型的均衡生产价格与均衡活动水平(数量)的问题，可归结为以下的特征值问题。即，
数值计算上需要注意的是，C、D不一定为非负矩阵。而且上述的特征值问题不局限于仅固定资本为联合生产物的联合生产体系，其可适用于以等式定义的任何联合生产体系。
（未完待续）