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会员注册在我们的模型中，马克思扩大再生产动态系统的稳定性主要取决于相对风险规避系数θ，它实际上是资本家消费的边际效用弹性的相反数，即θ=-uCCC/uC，因此，θ的高低体现着增加消费C所引起的边际效用下降速度的快慢，进而决定着资本家对消费偏离的接受程度。θ的倒数即为消费的跨期替代弹性。
如果θ＜1，经济系统为鞍点稳定，下面的相位图给出了当θ值比较低(更为接近0)和θ值比较高(更为接近1)时的两条鞍点路径，前者表明消费的跨期替代弹性较大，消费大幅波动对资本家没有太大的影响，如果不变资本存量很少，则资本家会选择更高的投资率和更低的消费水平，经济的最优增长路径更为靠近
=0曲线；后者表明消费的跨期替代弹性较大，资本家更为偏好平滑的消费路径，因此会选择更低的投资率和更高的消费水平，经济的最优增长路径更为靠近
=0曲线。
图1 当θ＜1的鞍点稳定系统
各种参数是如何影响稳态的不变资本存量和消费水平的？由于稳态消费-不变资本比为正常数，我们只需要研究这些参数对稳态不变资本存量的影响。通过(9)，(10)可以求得：
(方向无法确定)
可以看出，当资本积累程度、剩余价值率和两大部类资本有机构成提高时，稳态不变资本存量和稳态消费都会增加。惟一不太确定的是第Ⅰ部类可变资本对第Ⅱ部类可变资本之比提高对稳态不变资本存量的影响。可以确定的是，如果第Ⅰ部类资本有机构成小于第Ⅱ部类资本有机构成(k1＜k2)，则∂K*/∂φ必定为负，这是由于第Ⅱ部类劳动者消费过低，制约了整个经济的进一步增长。事实上，这种情况也不符合生产资料优先增长原理。在马克思《资本论》第二卷576-580页所给出的数据中，k1＞k2，这种情况下是有可能得到∂K*/∂φ＞0的结果的。
五、数值分析与增长的不稳定性
我们给出的马克思最优增长模型的关键参数在于相对风险规避系数θ或消费跨期替代弹性1/θ的取值范围。这方面西方学者有不少经验研究，但并未取得一致意见。早期研究倾向于支持于较高的相对风险规避系数或较低的消费跨期替代弹性，例如萨默斯(Summers，1982)对θ的估计大约为3，霍尔(Hall，1988)的估计大约为15(他认为消费跨期替代弹性接近0、不超过0.2)，阿坦纳西奥和韦伯(Attannasio和Weber，1995)估计消费跨期替代弹性处于0.6-0.7。因此不少教材都接受θ＞1的假设，例如巴罗和萨拉伊马丁(2000，第74、148、170页)。
然而，实证研究并未排除当θ＜1的情形。例如，曼昆(Mankiw，1985)等估计θ为0.09-0.51，班绍(Bansal，2005)等估计消费跨期替代弹性为1.5，维兴-约根森和阿坦纳西奥(Vissing-Jorgensen和Attannasio，2003)的估计大于1。
如果承认上述经验研究一定程度上的可靠性，我们可以结合马克思扩大再生产理论中的数据从直观上进一步讨论资本主义体系经济增长的发生及如何从稳定的经济增长向不稳定的经济波动和经济危机过渡。
如经济体系处于θ＜1的状态，经济的稳态为不变资本、可变资本及产出增长率均为0。根据《资本论》第二卷576-580页，我们校准参数如下：剩余价值率：e=100%=1，两大部类资本有机构成：k1=4，k2=2，两大部类可变资本之比：φ≈1.4。
根据假设1，鞍点稳定的资本主义系统需要的参数条件除了θ＜1外，还需要
且e+k2＞φ,代入以上参数可得ρ＞0.7，这种限制显然是过份了。经验研究表明，时间偏好率通常比较接近实际利率，因此在马克思给出的上述参数条件下，即使资本家的消费跨期替代弹性满足θ＜1，经济体系仍然是不稳定的系统。
由于ρ值比较小，稳定性的参数条件要求在剩余剩余价值率、第Ⅱ部类的资本有机构成和两大部类可变资本之比之间进行权衡。例如，假设：e=1，k1=3，k2=2，φ=2.8，则稳定性的参数条件要求ρ＞0.05，这就是比较合理的参数范围了。在此基础上，可以计算下列稳态比值：
稳态的资本家消费-不变资本比为：C*/K*=(e+k2-φ)/(k1φ+k2)≈0.02
稳态的可变资本-不变资本比为：V*/K*=(1+φ)/(k1φ+k2)≈0.37
稳态的不变资本-产出比为：K*/Y*=(k1φφ+k2)/[(1+e+k1)φ(1+e+k1)]≈0.6
稳态的不变资本-净产出比为：K*/(Y*-K*)=1.5
显然，上述数值只是马克思的扩大再生产体系趋于稳态的一个极端。稳态要求不存在追加的可变资本与不变资本，也就不存在剩余价值的资本化，储蓄率为0，经济增长率为0(我们并没有考虑人口增长或技术进步)，这有些类似简单再生产体系。
我们使用马克思的数据，可以得到在趋于稳态过程中的上述数值(以前两年为例，其余年份的结果近似该值)：
资本家消费-不变资本比为：(500Ⅰm+600Ⅱm)/(4400Ⅰc+1600Ⅱc)=0.18
可变资本-不变资本比为：(1100Ⅰv+800Ⅱv)/(4400Ⅰc+1600Ⅱc)=0.32
不变资本-产出比为：(4400Ⅰc+1600Ⅱc)/9800=0.6
不变资本-净产出比为：(4400Ⅰc+1600Ⅱc)/(9800-4400Ⅰc-1600Ⅱc)=1.58
马克思的数据中，经济是有着年均10%的增长率的，净产出(定义为YN=V+M=Y-K)在可变资本与剩余价值之间平分，而剩余价值的一半被储蓄起来转化为不变资本，因此储蓄率则是净国民收入(定义为YN=V+M=Y-K)的25%。
两组数据对比发现，差异主要在于稳态的资本家消费-不变资本比与马克思数据不一致，这也恰是经济在趋于稳态过程中的调整变量。
无论如何，稳定的资本主义体系对基本参数的要求是严苛的(不仅要求出现西方经济学家认为非现实的θ＜1值，还要求满足假设1，而假设1实际上是一个非常强的限制)。资本主义的经济增长是一个不稳定的过程。尽管如此，马克思的分析还是从简单再生产的零增长转向了扩大再生产的正增长，不过马克思认为这是一种难以实现的幸福状态。埃尔蒂斯(1998)解读了马克思模型中关于正的经济增长率的形成过程。结合消费跨期替代弹性，我们能够更好地理解这种经济增长所导致的繁荣以及资本主义这种繁荣的非持续性。经济增长要求第Ⅰ部类生产资料生产的扩张(即生产资料优先增长原理)，这使得第Ⅱ部类消费品的消费下降，由于工人已经处于维持生存状态，所以只能是资本家减少其消费。满足θ＜1的经济体系一种高消费跨期替代弹性的状态，在预期未来收入增加的情况下，人们乐
于推迟消费、进行资本积累和冒险，这就维持了资本主义的市场繁荣。
然而两大部类要维持总量平衡与结构平衡并不容易。劳动者的消费需求毕竟有限、如果只是限于生存工资的话，则资本积累只能依靠资本家之家彼此购买产品。第Ⅱ部类的扩张也需要生存工资下劳动力的无限供给。资本主义体系需要一个更多大的市场。①如果第Ⅰ部类生产受到预期和乐观因素影响，会产生生产的盲目扩张，消费不足更可能为经济体系转变成θ＞1时人们的谨慎消费态度所进一步恶化，结果，有效需求的不足将引起生产的全面过剩和整个资本主义体系的震荡。
①Luxemburg把这看作资本主义全球扩张的基本原因。参见R. Luxemburg, The Accumulation of Capital. Translated by A. Schwarzschild. London: Routledge 和 Kegan Paul. Ltd., [1913]1951.
根据马克思的研究，经济的稳定增长路径要求社会生产各部门之间保持一定比例关系，然而，“资本主义生产方式所特有的、使交换从而也使再生产(或者是简单再生产，或者是扩大再生产)得以正常进行的某些条件”，会“转变为同样多的造成过程失常的条件，转变为同样多的危机的可能性；因为在这种生产的自发形式中，平衡本身就是一种偶然现象”(马克思，1885，第2卷，第558页)。这就表明，稳定的资本主义经济增长会呼吁社会资本由一个“社会计划者”统一配置，然而，市场经济的分散决策总有可能导致比例失衡。尽管斯密的“看不见的手”通过相对价格机制的引导或许会减缓这种比例失衡，然而比例失衡是一连串的事件，它会影响到资本周转、收入和总需求乃至人们的信心，经济危机就成为不可避免的结果。承袭马克思的扩大再生产研究思路，哈罗德-多马经济增长模型也再现了同样的刃峰式资本主义经济增长：对一般均衡条件的细微偏离，就可能带来灾难性的后果。②
在资本主义社会中，总供求的失衡总是以经济危机的形式来逼近平衡增长路径的。以扩大再生产的这种不稳定性质为基础，就可以推论出马克思关于资本主义经济周期性波动和经济危机的思想。资本主义经济运行的稳定性取决于社会生产总体的结构平衡与总量平衡，且结构平衡是总量平衡的基础，然而资本主义制度本身总是会制造引起社会生产比例结构失调从而总量失衡的因素，这就产生了经济的周期性波动从而经济危机。
②值得注意的是，另一位资产阶级经济学家凯恩斯也强调了资本主义的这种内在的结构不稳定性，即宏观体系在一系列小的冲击下由于投资者与投机者长期预期(可能突然地)改变从而导致经济体系动态行为性质特征变化的倾向。参见凯恩斯：《就业、利息和货币通论》，重译本，高鸿业译，北京：商务印书馆，[1936]2002年，第19-21章。
六、结论
本文的模型，尽量在维持经典马克思思想的条件下，利用动态优化方法对再生产模型进行了重构。我们希望通过这种方式，能更好地理解马克思经济学关于经济增长及其稳定性的基本观念，并与西方经济学的现代研究相互印证，以加深对市场经济体系的认识。模型结合了扩大再生产的平衡条件与资本家消费跨期替代弹性对经济系统稳定性的制约，在剩余价值率、资本有机构成、两大部类可变资本之比与时间贴现率之间满足严格的参数限制条件下，给出了基本的稳定性条件，即两大部类有关产品总供求平衡的条件向消费跨期替代弹性是否小于或大于单元弹性转化。我们的数值分析表明，即使满足稳定性条件，马克思的经典数据也是一个不稳定的体系，但有关变量之间的关系的确比较接近稳态数值。
从理论逻辑来说，新古典理性假设趋向于认定θ＞1，即经济主体有平滑消费、规避风险的本性，因此坚持该假设的学者倾向于θ＞1(较低消费跨期替代弹性)的经验研究结果，并试图证明θ＞1的资本主义体系的稳定性。本文的研究证明，以劳动价值论为基础的马克思经济增长模式的稳定性条件意味着θ＜1，而这同西方学者最近关于消费跨期替代弹性的经验研究是相符合的。然而经验研究并不能完全排除θ＞1的情形，这就为马克思增长模式所蕴含的危机提供了一种经验可能性。
值得注意的是，上述结论实际上受制于不少限制条件。第一，我们把资本积累因素引入了偏好并假设了特殊的效用函数，效用函数形式的变化，是否考虑资本积累对效用的作用，贴现因子内生与否都可能对结论有所影响；第二，我们采用了新古典的稳态定义，即主要变量增长率为0，甚至也没有考虑人口增长率的影响，我们也没有分析变量增长率为正的内生增长状态。这些都是未来进一步深化研究的方向。尽管如此，我们相信，这个简单的模型还是可以为理解马克思经济增长理论和深思西方经济增长理论提供帮助。
本文受2012年教育部人文社会科学研究一般项目(12XJC790006)“马克思经济增长理论的动力系统研究：理论模型与数值模拟”资助。
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责任编辑：夏雨