内生稳态增长模型的生产结构(三)

    (本书即将由中国社会科学出版社出版) 
        但是，有时也可以根据其它某些辅助性的标志来判断具有特征的物品j是否可能在稳态增长率解上小于平均值，并据此预测模型的分析结果。 
      一个这样的辅助性标志是： 
    大致的判断标准19 
     在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果物品j一方面在生产上全自变量规模报酬递增且递增的程度相当大，另一方面该物品在稳态增长时对其本身生产的贡献率（）又足够接近1；特别地，如果该经济中同时有两种或两种以上物品处于这种物品j的情况下，则各种不同物品的稳态增长率如果有非零的解，它们极可能有不同的正负号。 
       这里可以为上述规则作一个大概的解释： 
     假设该经济中的稳态增长率有非零的解。根据式（I.10.3），第j种物品的稳态增长率解必须满足条件 
                                              （ V.4） 
       定义“除第j种物品外的其它物品平均增长率” 
                                                       （V.5） 
       根据上式，式（ V.4）可以化为 
                                     （V.4.1） 
       上式还可以变换为 
                                                             （V.4.2） 
       上式右边的是“其它物品相对于第j种物品生产的规模报酬扩充度”，由于本命题只讨论的情况，该规模报酬扩充度在本命题讨论的情况中始终大于零。由简单的推导可知，当“其它物品相对于第j种物品生产的规模报酬扩充度”大于1时，第j种物品的生产是全自变量规模报酬递增的；当该规模报酬扩充度小于1时，第j种物品的生产是全自变量规模报酬递减的；而当该规模报酬扩充度等于1时，第j种物品的生产是全自变量规模报酬不变的。 
     式（V.4.2）表明，第j种物品的稳态增长率解与除它之外其它物品的平均增长率之比等于其它物品相对于第j种物品生产的规模报酬扩充度。由于本命题只讨论其它物品相对于第j种物品生产的规模报酬扩充度大于零的情况，根据式（V.4.2），本命题中就只限于讨论下述情况：第j种物品的稳态增长率解与其它物品的平均增长率正负号相同。这样，下边的讨论都基于第j种物品的稳态增长率解与其它物品的平均增长率正负号相同这个前提，在比较它们的绝对值时也以它们有相同的正负号为前提。 
     在这种情况下，如果第j种物品的生产是全自变量规模报酬递减的，则其它物品的规模报酬扩充度就会小于1，第j种物品的稳态增长率解在绝对值上将小于其它物品的平均增长率；而如果第j种物品的生产是全自变量规模报酬递增的，则该物品的稳态增长率解将在绝对值上大于其它物品的平均增长率。这样，如果出现了本命题所讨论的情况，某个物品的生产上全自变量规模报酬递增程度相当大，该物品对其本身生产的贡献率又足够接近1，则根据式（V.4.2），该物品的稳态增长率解在绝对值上将必须是其它物品平均增长率的许多倍。 
      如果稳态增长率的解只需考虑一种物品的稳态增长条件，上边所说的情况并不妨碍所讨论的物品与所有其它物品的稳态增长率解都有同样的正负号：无论该物品的稳态增长率解在绝对值上必须是其它物品平均增长率的多少倍，我们总可以为所有的物品找到一组稳态增长率解，其中的增长率一方面有相同的正负号，另一方面又保证使所考虑物品的稳态增长率解在绝对值上足够地大于其它物品的平均增长率。 
      但是在本命题中，我们必须为两个以上的物品考虑稳态增长条件。这样，就可能有两个以上的物品都出现上述情况：一方面，某物品的生产上全自变量规模报酬递增程度相当大；另一方面，该物品对其本身生产的贡献率又足够接近1。记其中的一种物品为物品k，另一种物品为物品h。因为式（V.4.2）同样适用于这两种物品，非零的稳态增长率解就必须使下述两式同时成立： 
                                                            （V.4.3）                                                                                                                          （V.4.4） 
       根据上两式，由于物品k和物品h在生产上全自变量规模报酬递增的程度都相当大，它们各自对其本身生产的贡献率又足够接近1，如果该经济所有物品的稳态增长率非零解在正负号上都相同，则它们各自的稳态增长率解在绝对值上相对于其它物品的平均增长率（和）都必定大许多倍。 
     在上述两式中，物品k和物品h的两组投入的贡献率参数和可以说是相互独立地外生给定的。但是由于这两种物品处于同一个经济中且相互参与对方的生产，它们的稳态增长率解和其它物品的平均增长率都必定来源于同一组稳态增长率解。由式（V.5）可知，物品k的稳态增长率解必定以加权方式参与决定“除第h种物品外的其它物品平均增长率”，物品h的稳态增长率解也必定以加权方式参与决定“除第k种物品外的其它物品平均增长率”。这样，如果交叉生产贡献率和不是足够地接近零，那么在所有物品的稳态增长率解有相同的正负号的条件下，在绝对值上相对于非常大就会使在绝对值上相对于相当大，而在绝对值上相对于非常大也会使在绝对值上相对于相当大。因此，如果所有物品的稳态增长率解有相同的正负号，则在绝对值上相对于非常大就会使不可能在绝对值上相对于非常大，式（V.4.3）和（V.4.4）在本命题所说的条件下无法同时成立。 
     在这种情况下，如果物品k和物品h在生产上全自变量规模报酬递增的程度都相当大，它们各自对其本身生产的贡献率又足够接近1，要使式（V.4）那样的稳态增长条件对物品k和物品h同时成立，就只有两个方法：或者是物品k和物品h的稳态增长率解以及其它物品的平均增长率都等于零，此时该经济的稳态增长率没有非零的解；或者是在另外还存在物品k和物品h之外的第3种以致更多种物品的情况下，使物品k和物品h与它们之外的其它某些物品在稳态增长率解上有相反的正负号。在后一种情况下，存在着与物品k和物品h有正负号相反的稳态增长率解的物品，它们与物品k在稳态增长率解上的加权和构成了，与物品h在稳态增长率解上的加权和构成了。由于它们与物品k和物品h在稳态增长率解上正负号相反，在加权相加构成平均增长率时，就可以在的绝对值很高时使的绝对值很小，同时又在的绝对值很高时使的绝对值很小，从而使在绝对值上相对于非常大与在绝对值上相对于非常大同时成立。 
     对此很容易举出数字的例子。 
    例子19.1：两种物品报酬递增 
       某经济的最终产品生产函数是全自变量规模报酬递增的：，其中为第i种自变量物品用于生产第j种物品的份额，K为物质资本的存量。自变量物品H的生产函数也是全自变量规模报酬递增的：，而自变量物品L的增长率外生给定。各种物品都没有折旧。 
     按照本书第一章所说明的运算程序，我们可以解出最终产品及3种自变量物品的稳态增长条件，并且定义物品L为基准物品，将其外生给定的增长率标准化为1，将物品K和最终产品的标准化稳态增长率解标为k，记物品H的标准化稳态增长率解为h。由此可知在稳态增长下，物品K和物品H的标准化稳态增长率必定是下述联立方程组的解： 
                                                               （例19.1） 
       由此解得，物品k和物品h的稳态增长率解在正负号上与基准物品相反。产生这样的稳态增长率解，当然是因为在上述联立方程组中，命题17所要求的各个条件都得到了满足，其中包括物品k的标准化稳态增长率（-1.25）小于除基准物品之外的所有物品平均的标准化稳态增长率（）。不过上述联立方程组也符合前边所说的出现不同符号的稳态增长率解的辅助性标志：物品k和物品h 在生产上全自变量规模报酬递增且递增的程度相当大，另一方面物品k在稳态增长下对其本身生产的贡献率（）又相当接近1（）。本例的设计故意使它的物品h稳态增长条件与例17.2 中相同，只是改变了例17.2 中物品k的稳态增长条件，使它反映的稳态增长下k的生产函数与例17.2 中很不一样：从全自变量规模报酬不变改成了有很大报酬递增，物品k对其本身生产的贡献率也变成接近1得多。这样的对比意在说明：仅仅一种物品生产函数的这样一种改变，就足以将有相同正负号的非零稳态增长率解变成正负号不同的非零稳态增长率解。 
        从判断标准19之后所作的分析中可以看出，其实有两种物品报酬递增且对本身生产的贡献率接近1只是不同物品稳态增长率解有不同正负号的充分条件。而只要有一种物品报酬递增且对本身生产的贡献率接近1，不同物品稳态增长率解有不同正负号就具备了必要条件。即使其它物品在生产上全自变量规模报酬递减或增长率外生给定，只要有一种物品在生产上报酬递增且对本身生产的贡献率足够接近1，各种不同物品的稳态增长率解就可能具有不同的正负号。 
    例子19.2：只有一种物品报酬递增 
       某经济的最终产品生产函数是全自变量规模报酬递增的：，其中为第i种自变量物品用于生产第j种物品的份额，K为物质资本的存量。但是自变量物品H的生产函数却是全自变量规模报酬递减的：，而自变量物品L的增长率外生给定。各种物品都没有折旧。 
     按照本书第一章所说明的运算程序，我们可以解出最终产品及3种自变量物品的稳态增长条件，并且定义物品L为基准物品，将其外生给定的增长率标准化为1，将物品K和最终产品的标准化稳态增长率解标为k，记物品H的标准化稳态增长率解为h。由此可知在增长的稳态下，物品K和物品H的标准化稳态增长率必定是下述联立方程组的解： 
                                                               （例19.2） 
       由此解得，物品k和物品h的稳态增长率解在正负号上与基准物品相反。在上述联立方程组中，命题17所要求的各个条件都得到了满足，其中包括物品k的标准化稳态增长率（-10.5）小于除基准物品之外的所有物品平均的标准化稳态增长率（）。之所以出现这种稳态增长率解，只不过是因为物品k在生产上全自变量规模报酬递增且递增的程度相当大，同时物品k在稳态增长下对其本身生产的贡献率（）又足够接近1（）。 

     判断标准19所讨论的情况以至少一种物品的生产全自变量规模报酬递增为前提，它的结论必定适用于只有报酬递增物品而没有外生给定增长率的情况。但是第四章已经指出，当所有物品的生产都全自变量规模报酬递增而没有外生给定的增长率时，各种不同物品的稳态增长率非零解必定有不同的正负号，这时不需要满足判断标准19为稳态增长率非零解有不同正负号所提出的进一步要求。 
     命题19和判断标准19都适用于某些物品有外生给定增长率或并非报酬递增的情况。本章已经一再说明，原则上说，只要有某些物品的生产是全自变量规模报酬递增的，各种不同物品的稳态增长率解就有可能有不同的正负号；但只要不是各种物品的生产都全自变量规模报酬递增，各种不同物品的稳态增长率解也可能有相同的正负号。命题19和判断标准19都进一步说明了，在有些物品报酬递增、另一些物品报酬不递增的情况下，什么条件会使各种不同物品的非零稳态增长率解必定有不同的正负号，它们进一步印证了本章开头的论点：报酬递增物品的存在使各种不同物品的非零稳态增长率解有不同正负号成为可能。 
     基于本书过去多次重复过的理由，在命题19和判断标准19所说的情况下，非零的稳态增长率解也不可能是该经济的稳态增长率；该经济具有某些物品的增长率小于零的稳态增长率非零解，这多半标志着这个经济没有真正的稳态增长率，将陷入增长率不断提高的爆炸性增长。 
     大卫·罗默的宏观经济学教科书中，曾经分析了一个有物质资本K、劳动L和技术A这三种自变量物品的经济，其中A的生产函数为，而式中的B，都为大于零的给定常数。这个公式中的就是本命题说的自变量物品对其本身生产的贡献率。按罗默所说的该经济的最终产品生产函数，该经济物质资本的稳态增长率、技术水平的稳态增长率和外生给定的人口增长率n的数值之间必须满足等式。在这样一些前提条件下，罗默说明，当且时，该经济的最终产品、物质资本和技术水平的增长率都将不断上升（Romer, D. ，1996，第三章第三节）。 
      根据罗默给出的技术水平A的生产函数，可知技术水平的稳态增长率必须满足条件。可以将这个稳态增长条件标准化为。由此可得除基准物品之外的所有物品平均的标准化稳态增长率，再代入物质资本的稳态增长条件，可得。显然当和都大于零时，技术水平A的标准化稳态增长率小于除基准物品之外的所有物品平均的标准化稳态增长率。如果再有，命题19对技术水平稳态增长率的非零解与基准物品的稳态增长率解正负号相反所规定的条件就都得到满足。而罗默的分析证明了，当技术水平与人口在稳态增长率解上有不同正负号时（即，和都大于零），该经济的最终产品、物质资本和技术水平的增长率都将不断上升。在罗默所举的例子中，具有某些物品的增长率小于零的稳态增长率非零解，确实标志着该经济没有真正的稳态增长率，会陷入增长率不断上升的爆炸性增长。 

    第四节         稳态增长率解正负号相反的连锁效应 

       如果所有物品对本身生产的贡献率都小于1，则稳态增长率解正负号相反有连锁效应：一种物品与第二种物品的稳态增长率解正负号相反，会要求第三种物品也与第二种物品的稳态增长率解正负号相反： 
     命题20 
     在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果自变量物品j对其本身生产的贡献率小于1（即），则当该物品的稳态增长率解与物品i的稳态增长率解正负号相反时，必定至少还有另外一种自变量物品与物品i有相反的稳态增长率解正负号。 
    证 
        根据式（ V.4），第j种物品的稳态增长率必须满足条件 
                                
     假设上述等式左边的小于零，该式右边至少有一个大于零，这两个稳态增长率解正负号相反。由于，当该等式左边的小于零时，该式左边小于零。而由于所有的都大于或等于零，如果等式右边的任何其它都不小于零，则等式（ V.4）将不能成立，稳态增长的条件将得不到满足。 
    证毕。 
       例14中大于零和小于零的稳态增长率解各有两个，例17.1、19.1和19.2中与外生给定增长率正负号相反的稳态增长率解各有两个，这些都是命题20的例证。 

    第五节         爆炸性增长：稳态增长率解正负号相反的动态含义 

      命题2已经说明，在一个严格正则生产函数经济中，任何物品的增长率都不可能小于零。第一章第4节据此说明，当各种不同物品的稳态增长率解必须有相反的正负号时，一个严格正则生产函数经济不可能有非零的稳态增长率。本节将进一步证明，在一个严格正则生产函数经济中，当各种不同物品的稳态增长率解有相反的正负号而某些物品的增长率大于零时，该经济最终将陷入爆炸性增长——各种增长率非外生给定物品的增长率有越来越高的趋势。 
      为证明这一论点，首先可以作一些预备性的分析。根据按物品j计算的平均增长率定义，可以将式（I.9.12）中物品j增长率的增长率公式变换为 
                           （V.3.1） 
        由上式可知，如果，物品j的增长率会上升；如果，物品j的增长率会下降。当时，物品j的增长率不变。 
     根据式（V.3.1），如果所有物品的增长率都等于零，就必然有。此时所有物品增长率的增长率都等于零。这又证明了第一章第四节所说的原理：所有物品的增长率都为零是一个满足稳态增长条件的稳态增长率解。       由于在严格正则生产函数经济中不可能有小于零的增长率，以下根据式（V.3.1）所讨论的增长率动态将只限于任何物品的增长率都不小于零的情况。 
     如果物品j的生产是全自变量规模报酬不变的，就有 。在这种情况下，根据式（V.3.1），如果该物品的增长率高于按该物品计算的平均增长率，该物品的增长率会下降；如果该物品的增长率低于按该物品计算的平均增长率，该物品的增长率则会上升；当该物品的增长率正好等于其平均增长率，该物品的增长率就不变。这是一个典型的具有稳定性的负反馈机制。其它物品增长率的改变也会影响该报酬不变物品增长率的变化，其机制可以很容易地由式（V.3.1）导出。如果所有的物品都全自变量规模报酬不变，则当所有物品有相同的增长率时，每种物品的增长率都会等于其平均增长率，任何物品的增长率都不会再改变。这就恰好是第二章所说的报酬不变条件下的稳态。 
      如果物品j的生产全自变量规模报酬递减，就会有。根据式（V.3.1），在这种情况下，只要该报酬递减物品的增长率不低于其平均增长率，该物品的增长率就会下降。即使报酬递减物品的增长率已经低于其平均增长率，在一定范围内（即在仍有的范围内），报酬递减物品的增长率仍会下降。哪怕是该报酬递减物品的增长率已经是各种物品增长率中最低的，它仍然可能处于这个增长率继续下降的范围内。 
      这样，如果所有物品都在生产上全自变量规模报酬递减，则增长率较高的物品都会不断降低其增长率，增长率最低的物品有可能提高其增长率，但也可能降低其增长率。而在所有物品都有相同增长率时，所有物品增长率都会降低，因为此时所有物品的增长率都会等于其平均增长率，而根据式（V.3.1），报酬递减物品在其增长率不低于按它计算的平均增长率时增长率会降低。这种动态将导致所有物品的增长率都逐渐降低，而且在降至所有物品的增长率都为零之前，这个过程不会停止。这就从动态上证明了第三章中的命题10：如果所有的物品都在生产上全自变量规模报酬递减，则所有物品的增长率都为零是唯一的稳态增长率解。 
      如果物品j的生产全自变量规模报酬递增，就会有。根据式（V.3.1），在这种情况下，只要该报酬递增物品的增长率不高于其平均增长率，该物品的增长率就会上升。即使报酬递增物品的增长率已经高于其平均增长率，在一定范围内（即在仍有的范围内），报酬递增物品的增长率仍会上升。哪怕是该报酬递增物品的增长率已经是各种物品增长率中最高的，它仍然可能处于这个增长率继续上升的范围内。 
      如果一个经济中除了存在着报酬递增物品之外，还存在着报酬递减、报酬不变或者增长率外生给定的物品，则该经济的增长率动态将出现很复杂的情况。在生产贡献率的某些组合下，可能出现下列情况：报酬递增物品达到了的状态，此时报酬递增物品的增长率高于其平均增长率，而低于其平均增长率的物品具有外生给定的增长率。这是第四章第三节讨论的只有报酬递增物品与外生给定增长率而所有物品都有为正的稳态增长率的情况，显然此时报酬递增物品都有高于外生给定增长率的稳态增长率。 
     还可能出现这样的情况：报酬递增物品和报酬递减物品都达到了的状态，此时报酬递增物品的增长率高于其平均增长率，而报酬递减物品的增长率低于其平均增长率。这时整个经济进入了稳态增长，显然稳态增长率最高的物品在生产上全自变量规模报酬递增，而稳态增长率最低的物品则全自变量规模报酬递减。这就是本书第六章讨论的稳态增长率解全都大于零的情况中最主要的一种：各种不同物品的生产既有全自变量规模报酬递增的，也有报酬递减的。 
     当然，在不同物品的生产既有全自变量规模报酬递增、也有全自变量规模报酬递减的严格正则生产函数经济中，各种不同物品的稳态增长率解不一定都能大于零。在不同物品的生产既有全自变量规模报酬递增、也有全自变量规模报酬递减的严格正则生产函数经济中，某些情况下各种不同物品的稳态增长率非零解可能正负号相反。在下边对命题21的证明过程中将会讨论这种情况。  
    命题21 
     在一个严格正则生产函数经济中，如果所有外生给定的增长率都大于零，所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，则当各种不同物品的稳态增长率非零解有相反的正负号而某些物品的增长率大于零时，该经济最终将陷入爆炸性增长——每种增长率非外生给定物品的增长率都有越来越高的趋势。 
    证 
        由于所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，对任何增长率非外生给定的物品j就都有。 
      第一章的命题2和第4节已经说明，在一个严格正则生产函数经济中，任何物品的增长率都不可能小于零，因此当这个经济中各种不同物品的稳态增长率解必须有相反的正负号时，它就不可能有非零的稳态增长率。这样，在本命题所讨论的情况下，不仅任何物品的增长率都不可能小于零，而且也不会出现增长率小于零的物品会变向增长率大于零而增长率不小于零的物品增长率都不变的情况，因为增长率的这种变化动态意味着不同物品的稳态增长率解正负号不相反，这不是本命题所要讨论的情况。 
      因此，在本命题所讨论的情况中，既不会有各种物品的增长率最终都收敛到零，也不会有所有物品的增长率最终各自收敛到某一大于零的正数或零。这是因为，如果各种物品的增长率最终都会收敛到零，该经济的稳态增长率就只有零解；如果所有物品的增长率最终各自收敛到某一大于零的正数或零，该经济的稳态增长率就会有正数解。这些都不涉及本命题要讨论的情况——只有正负号不同的稳态增长率非零解。 
      在这样的前提下，我们可以清楚地确定各种不同物品在长期中的变动趋势。在以下的讨论中，当我们谈到某种物品的增长率“趋于下降”时，我们指的是该物品的增长率在长期中有下降的趋势。这意味着，该物品的增长率在其动态变化过程中虽然可能出现暂时的上升，但是在暂时的上升之后会降得更低：某物品的增长率在降到k之后出现暂时的上升，但在上升之后又下降，并且最终会下降得低于k。仿此，我们可以定义一物品的增长率“趋于上升”（在长期中有上升的趋势）和“趋于不变”（在长期中有不变的趋势）。 
      在本命题所讨论的情况下，显然不可能是所有物品的增长率在长期中都有下降的趋势。这是因为，如果所有物品的增长率在长期中都有下降的趋势，最终的结果就必定是：或者是某些物品的增长率变为小于零，这在本命题所讨论的情况下是不可能出现的；或者是所有物品的增长率都各自收敛到某一不小于零的数值上去——这套全都不小于零的数值可能全都等于零，也可能有某一些大于零。在后面这类情况下，各种不同物品的稳态增长率解都不会正负号相反。这就不是本命题所要讨论的情况——只有正负号不同的稳态增长率非零解。 
      在本命题所讨论的情况下，也不可能是某些物品的增长率在长期中有不变或上升的趋势，而另一些物品的增长率在长期中有下降的趋势： 
      如果某些物品的增长率趋于不变而其它物品的增长率都趋于下降，则增长率趋于下降的物品最终不是变为增长率小于零，就是其增长率收敛到某一不小于零的数值。在后一种情况下，所有物品的增长率都会各自收敛到某一不小于零的数值上去。这两种情况都不是本命题所要讨论的情况。 
      如果有任何物品的增长率趋于上升而某些其它物品的增长率趋于下降，则由于任何物品的增长率都不会小于零，且所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，对任何增长率非外生给定的物品j，最终都会有其平均增长率大于零。在这种情况下，由于有至少一种物品的增长率会始终大于零（它不小于零且趋于上升），对任何增长率趋于下降的物品j来说，最终都会有，此后该物品的增长率将趋于上升。这就说明，在本命题所讨论的情况下，某些物品的增长率趋于上升而某些其它物品的增长率趋于下降的动态不可能永远持续下去，它最后一定会转变为除增长率外生给定物品之外的所有物品的增长率都趋于上升。 
      以上讨论已经证明，在本命题所讨论的情况下，不可能是所有物品的增长率在长期中都有下降的趋势，也不可能是某些物品的增长率在长期中有不变或上升的趋势，而另一些物品的增长率在长期中有下降的趋势。这样，在本命题所讨论的情况下，如果不是除增长率外生给定物品之外的所有物品的增长率都趋于上升，就只剩下一种可能性：所有增长率非外生给定物品的增长率都不小于零且在某个范围内波动，但它们却永远不会各自收敛到某一不小于零的数值上。 
      以下我们将证明，在一个有n种物品的经济中，如果所有增长率非外生给定物品的增长率都不小于零但在某个范围内波动，而它们又永远不会各自收敛到某一不小于零的数值上，则该经济将有各种物品的增长率都不小于零的稳态增长率解。 
      假定在有n种物品的经济中，物品j的增长率不小于零但在不小于和不大于的范围内波动，而它又永远不会收敛到某一不小于零的数。我们可以为该物品定义“增长率的相对高度” 
                                                  （V.6） 
        在上式中，显然有，。由于，恒有。由式（V.6）可知， 
                                          （V.6.1） 
        如果该经济有m种增长率非外生给定物品，其中每种物品的增长率都不小于零但在某一范围内波动，而它又永远不会收敛到某一不小于零的数值上，我们就可以为这m种物品中的每一种物品j都定义一个增长率的相对高度。这m个变量组成了一个m维的向量。由于对每个都恒有，向量必处于一个单位单纯型（unit simplex）内。 
      由向量可以构造一个连续函数 

                （V.6.2） 
        上述定义后的简化过程利用了式（1.9.12）中的定义、式（1.9.9）中的定义，以及式（1.9.5）中严格正则生产函数下的性质。 
      在上述的定义中，n种物品i中也包括了增长率外生给定的物品。对这些增长率外生给定的物品i，这里简单地将与其对应的定义为常数——其外生给定的增长率。 
      由于恒有，就也恒有，这就决定了对任何物品j，都恒有。 
      我们可以为m种增长率非外生给定物品中的每一种物品j都定义一个这样的函数。这m个变量组成了一个m维的向量。由于对每个都恒有，向量必处于一个单位单纯型（unit simplex）内。 
      根据布劳威尔不动点定理（Brouwer fixed-point theorem），如果是一个从单位单纯型到其自身的连续函数，则该函数至少有一个不动点，即在该单位单纯型上存在着一点使得。 
      将该不动点上的标为。由不动点的定义可知，对每一种增长率非外生给定的物品j，在不动点上都必有 
                                                   （V.6.3） 
        根据和的定义，式（V.6.3）意味着 
       
        要满足上述等式，就必须有。 
      还可以根据的定义，将式（V.6.3）化为 
         
        上式可以变换为 
         
        该式又可以根据的定义变换为 
         
        上式意味着 
         
        或 
         
      这正是严格正则生产函数经济中物品j的稳态增长条件，它意味着。在上述的不动点上，对每一个增长率非外生给定的物品来说，上述条件都得到了满足。显然，与这样一个不动点相对应的各种物品的增长率不仅构成了一个稳态增长率解，而且其中每种物品的增长率都不会小于零。 
      上述的分析证明，如果所有增长率非外生给定物品的增长率都不小于零但在某个范围内波动，而它们又永远不会各自收敛到某一不小于零的数值上，则该经济将有各种物品的增长率都不小于零的稳态增长率解，各种不同物品的稳态增长率非零解不必有相反的正负号。 
      这样，上述的全部讨论证明，在一个严格正则生产函数经济中，如果所有外生给定的增长率都大于零，所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，则当各种不同物品的稳态增长率非零解有相反的正负号而某些物品的增长率大于零时，各种不同物品增长率变化的下述动态都是不可能的：所有物品的增长率在长期中都有下降的趋势；或者某些物品的增长率在长期中有不变或上升的趋势，而另一些物品的增长率在长期中有下降的趋势；或者所有增长率非外生给定物品的增长率都不小于零而在某个范围内波动，但它们却永远不会各自收敛到某一不小于零的数值上。这样，在本命题所讨论的情况下就只有一种可能性：除增长率外生给定物品之外的所有物品的增长率在长期中都趋于上升。 
      根据命题19，在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，只要所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，则当不同物品的稳态增长率解有不同的正负号时，该经济中至少有一种物品的生产是全自变量规模报酬递增的。这意味着在本命题所讨论的情况下，至少有一种物品的生产是全自变量规模报酬递增的。报酬递增物品的存在使得各种不同物品的增长率都同时上升成为可能。 
      根据式（V.3.1），无论物品j在生产上全自变量规模报酬递增还是不递增，其增长率要上升，都必须满足条件。但是根据本节开头所作的分析，对于报酬不递增物品，这意味着其增长率不能高于其平均增长率；而对于全自变量规模报酬递增物品，增长率在一定限度内高于其平均增长率时也可以满足这个条件。当报酬递增物品的增长率适当高于报酬递减物品时，完全可能同时满足上述两个条件。 
     而且只要各种物品增长率上升的速度适当，也完全可以永远对所有物品都同时满足上述条件。这时一方面是报酬递增物品和报酬递减物品的增长率都不断上升（不等式的右边不断上升），另一方面则是各种物品增长率的上升又使按每一种物品计算的平均增长率不断上升（不等式的左边不断上升），以致这个不等式本身对任何增长率非外生给定物品都永远成立。在这种情况下就出现了增长率逐渐上升的爆炸性增长。 
    证毕 
        命题21的一个最显著例证是所有物品的生产都全自变量规模报酬递增的情况。 
      在式（V.3.1）之后所作的分析已经说明，只要报酬递增物品的增长率不高于其平均增长率，该物品的增长率就会上升。即使报酬递增物品的增长率已经高于其平均增长率，在一定范围内（即在仍有的范围内），报酬递增物品的增长率仍会上升。哪怕是该报酬递增物品的增长率已经是各种物品增长率中最高的，它仍然可能处于这个增长率继续上升的范围内。 
      根据以上原理，当所有物品都在生产上全自变量规模报酬递增、没有外生给定增长率时，如果所有物品都有相同的增长率，则所有物品的增长率都会等于其平均增长率，而每一种物品的增长率都将上升。如果各种物品有不同的增长率，则增长率较低的物品都将不断提高其增长率。即使有少数增长率最高的物品逐渐降低其增长率，这些物品在其增长率降到低于所有其它物品之前也会转向提高增长率，因为报酬递增物品在增长率降到低于其平均增长率之前增长率就会转向上升。这样，如果一个严格正则生产函数经济中的所有物品都在生产上全自变量规模报酬递增，该经济在某些物品有大于零的增长率之后就会陷入最低的增长率不断上升的局面。 
      而推论14已经说明，在所有物品的生产都全自变量规模报酬递增的严格正则生产函数经济中，各种不同物品稳态增长率的非零解必定有不同的正负号。这样，正负号不同的稳态增长率解只不过暗示了一种增长率不断上升的爆炸性增长。 
        还可以从另一个角度来印证命题21：只要加上增长率不能低于零的限制条件，各种不同物品的稳态增长率解有相反正负号的稳态增长率解就会转化为各种非外生给定的增长率都上升的情况。 
      将一个n种物品的稳态增长率解标为，在这n个中，有的大于零，有的小于零。如果在这n种物品中有增长率外生给定的物品，则根据命题21的前提条件，这些外生给定的增长率都不小于零。将稳态增长率解中所有小于零的稳态增长率解都变为零，就得到一个完全由正的稳态增长率解和零组成的增长率向量，在其中。 
      在增长率向量之下，增长率非外生给定的各种物品增长率的变动可以分两种情况： 
      第一种情况是物品j本身的稳态增长率解不小于零，此时。由于其它物品的稳态增长率解中小于零的那些在中都变为零，就必有。这样就使 
       
        在这种情况下，物品j的增长率将不断上升。 
      另一种情况是物品j的稳态增长率解小于零，此时。由于其它物品的稳态增长率解中有某些大于零，增长率向量中与其相对应的分量就大于零，而中的其它分量则等于零，因此有。这样，这种情况下必有 
       
       在这种情况下，物品j的增长率也将不断上升。 
      综合以上分析可知，只要在各种不同物品的稳态增长率解有相反正负号的稳态增长条件中加上增长率不能低于零的限制条件，就会出现增长率非外生给定的各种物品的增长率都不断上升的爆炸性增长。在这里，正负号不同的稳态增长率解也只是暗示了许多物品的增长率都上升的爆炸性增长。 

    例子21 
       例子16.2转述了戴维·罗默在其宏观经济学教科书中分析的一个经济，其中只有劳动L和技术A这两种自变量物品，L的增长率n又外生给定。罗默根据A的生产函数推出的技术水平A的稳态增长条件为（），而该经济中最终产品的增长率则为。当时，物品A的稳态增长率解必定与人口增长率n正负号相反。这时如果人口增长率n大于零，物品A的稳态增长率解就必定小于零。 
      戴维·罗默在他的书中作了详细的分析，说明当时，该经济的增长率以及自变量物品A的增长率都将不断上升。这是一个典型例子，说明当各种不同物品的非零稳态增长率解有不同的正负号时，这种稳态增长率解不可能是严格正则生产函数经济的稳态增长率，该严格正则生产函数经济将没有非零的稳态增长率，而且至少在所有物品都投入增长率非外生给定物品的生产时会陷入增长率不断上升的爆炸性增长。 
        例子19中转述了戴维·罗默在其宏观经济学教科书中分析的另一个经济，该经济有物质资本K、劳动L和技术A这三种自变量物品，其中劳动的增长率n外生给定，A的生产函数则为，式中的B， 都为大于零的给定常数。罗默为该经济导出的时的稳态增长条件为，而这也是时该经济的稳态增长条件。但是当时，物品A的稳态增长率解必定与物品L的稳态增长率解n有相反的正负号。如果n大于零，时物品A的稳态增长率解就只能小于零。 
      戴维·罗默在他的教科书中作了详细的分析，说明当且时，该经济的最终产品、物质资本和技术水平的增长率都将不断上升（Romer, D. ，1996，第三章3.3）。但是在这种情况下，物品A的稳态增长率解却与人口增长率n的正负号相反。这是命题21的又一个例证，说明了在一个严格正则生产函数经济中，各种物品具有正负号不同的稳态增长率解只不过暗示着会出现许多物品的增长率都上升的爆炸性增长。 
      戴维·罗默在其教科书中所举的这两个例子都表明，一个严格正则生产函数经济具有某些物品的增长率小于零的稳态增长率非零解，确实标志着该经济没有真正的非零稳态增长率，会陷入增长率不断上升的爆炸性增长。 

    

    

    

    

    

    

    第六章   稳态增长率解正负号相同的情况 

        本章所研究的稳态增长率解正负号相同的情况，是不同的物品稳态增长率解互不相等，它们各自有不同的绝对值。第二章已经指出，如果所有物品的生产都全自变量规模报酬不变且至多只有一种外生给定的增长率，则所有物品的稳态增长率解都彼此相等。第三章也指出，如果所有物品的生产都全自变量规模报酬递减且没有外生给定的增长率，则稳态增长率只有零解。这些情况下各种不同物品的稳态增长率解也会有相同的正负号。而本章的讨论不涉及这些情况。 
      不同物品的稳态增长率解正负号相同但互不相等的情况对当代的经济增长理论有决定性的重要意义：当代的经济增长理论力图以稳态增长模型来描述一百多年来发达工业化国家的稳定增长状态，而在这种稳定增长状态下，技术在不断进步，最终产品的产出、人口等等都有大于零的正增长率，但是最终产品产出和物质资本存量的增长率都显著大于人口增长率。这样，建立一个所有物品的稳态增长率解都有相同正负号但绝对值互不相等的经济增长模型，就成了经济增长理论对实际的增长有足够解释力的关键问题。本章的讨论就是为了回答这个问题，目的是说明：各种不同物品的生产函数具有什么样的性质，才能建立一个所有物品的稳态增长率解都有相同正负号但绝对值互不相等的经济增长模型。 
      第三章的讨论已经指出：如果有一种外生给定的增长率，其它物品的生产全为全自变量规模报酬不变或递减，则所有物品的稳态增长率解可以有相同正负号但绝对值互不相等。第四章的讨论也说明了，如果有一种外生给定的增长率，其它物品的生产全为全自变量规模报酬递增，也可能有不同物品的稳态增长率解都有相同正负号但绝对值互不相等。 
      本章的讨论将进一步说明，如果有一种外生给定的增长率，其它物品的生产既有报酬递增的，也有报酬递减的，则所有物品的稳态增长率解也可能有相同正负号但绝对值互不相等；而如果没有外生给定的增长率，则一般说来只有在某些物品的生产全自变量规模报酬递增、某些物品的生产全自变量规模报酬递减时，才会有所有物品的稳态增长率解有相同正负号但绝对值互不相等。 
      但对这一规律有一个例外：在一种特殊的生产函数结构下，即使没有外生给定的增长率，一个只有报酬不变和报酬递减物品的经济，或者一个只有报酬不变和报酬递增物品的经济，都可能使所有物品的稳态增长率解有相同正负号但绝对值互不相等。 
      这种例外情况要求整个经济中的生产函数有特殊的结构：在稳态增长下，非报酬不变物品不影响报酬不变物品的生产。这时如果有多个报酬不变物品，这些报酬不变物品将有相同的稳态增长率，构成一个“相等增长率组”。这样我们就需要在本章第一节中讨论一个更一般的命题，这个更一般的命题说明：在一个生产n种物品的经济中，在什么情况下会有m种物品的稳态增长率解彼此相等。 

    第一节         稳态增长率解相等的前提条件 

       在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果有m种物品的稳态增长率解彼此相等，我们称这m种物品构成了一个“相等增长率组”。为了便于分析，这里使用式（I.11.2）所定义的那种标准化了的稳态增长率解。在作标准化之后，按定义标号为第n种物品的基准物品的标准化稳态增长率。 
    一、一般情况 
       记“相等增长率组”中标准化了的共同稳态增长率为，第u种增长率与其它物品不同的物品的标准化稳态增长率为。 
     如果在n种物品中有m种物品的稳态增长率解彼此相等，则由其它n - m种彼此互不相等的稳态增长率解可以得出标准化了的“不同增长率物品的平均增长率”。但是为了得出这样一种平均增长率，首先必须解决计算平均增长率时使用的权数问题。为了这里的研究目的，我们就取每种不同增长率物品i对某种物品j生产的贡献率作权数。当然，同一种物品对不同物品生产的贡献率通常是不一样的。这样，我们会为不同物品的生产得出不一样的“不同增长率物品的平均增长率”。 
     定义与第j种物品生产有关的“不同增长率物品的平均增长率”为 
                                                                            （VI.1） 
       在上式中，生产贡献率之和代表了不同增长率物品在第j种物品生产中的规模报酬程度。对上式略作变换可知 
                                                                       （VI.1.1） 

     对其余m个有相同增长率的物品，将第e个物品对第j个物品生产的贡献率标为，则增长率相同物品在第j种物品生产中的规模报酬程度为，而则表示增长率相同物品在第j种物品生产中的规模报酬程度与规模报酬不变之间的差距。本章以后还将讨论一种“无外来投入的规模报酬不变系统”，对这种系统中的任一物品j来说，恒有且，即该系统中的任一物品j的生产都是全自变量规模报酬不变的且只是对增长率相同物品是规模报酬不变的。 
     由此可以将比值称作“不同增长率物品在第j种物品生产中的规模报酬扩充度”。由规模报酬的定义可知，如果该规模报酬扩充度等于1，第j种物品的生产是全自变量规模报酬不变的；如果该扩充度大于1，第j种物品的生产是全自变量规模报酬递增的；如果该扩充度小于1，第j种物品的生产就是全自变量规模报酬递减的。 
      还可以作出进一步的定义： 
    规模报酬扩充度平均增长率定义 
     不同增长率物品在第j种自变量物品生产中的规模报酬扩充度平均增长率为。 
       在此基础上，可以得出 
    命题22 
       在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果在n种物品的稳态增长率解中，有m种自变量物品的稳态增长率解彼此相等，且在这m种物品中，增长率相同物品在任何一种物品生产中的规模报酬都不是不变的（即），则1. 不同增长率物品在“增长率相等组”的任何物品生产中的规模报酬扩充度平均增长率都是相同的；2. 如果增长率相同物品在同类物品生产中的规模报酬递减且不同增长率物品对该种物品生产的平均增长率为正，或者增长率相同物品在同类物品生产中的规模报酬递增且不同增长率物品对该种物品生产的平均增长率为负，则“增长率相等组”共同的稳态增长率解与基准物品的稳态增长率解正负号相同；如果增长率相同物品在同类物品生产中的规模报酬递减且不同增长率物品对该种物品生产的平均增长率为负，或者增长率相同物品在同类物品生产中的规模报酬递增且不同增长率物品对该种物品生产的平均增长率为正，则“增长率相等组”共同的稳态增长率解与基准物品的稳态增长率解正负号相反；3. 当增长率相同物品在某种同类物品生产中的规模报酬递减时，如果“增长率相等组”共同的稳态增长率解与不同增长率物品对该种物品生产的平均增长率正负号相同且大于后者，则该物品的生产为全自变量规模报酬递增；如果“增长率相等组”共同的稳态增长率解与不同增长率物品对该种物品生产的平均增长率正负号相反，或者“增长率相等组”共同的稳态增长率解与不同增长率物品对该种物品生产的平均增长率正负号相同但小于后者，则该物品的生产为全自变量规模报酬递减；如果“增长率相等组”共同的稳态增长率解与不同增长率物品对该种物品生产的平均增长率正负号相同且等于后者，则该物品的生产为全自变量规模报酬不变；4.当增长率相同物品在某种物品生产中的规模报酬递增时，该物品的生产必定为全自变量规模报酬递增。 
    证 
        可以根据有m种物品的稳态增长率解相同这一点改写式（I.11.3），知这种条件下第j种物品稳态增长率的解必满足条件 
                                              （VI.2） 
       这里我们只讨论增长率相同物品的情况。对这种物品有，上式就可以化为 
                                                                （VI.2.1） 
       在此基础上我们逐个证明命题22中的各个论点： 
       1. 式（VI.2.1）可进一步变为 
                                                                              （VI.2.2） 
       这意味着“增长率相等组”共同的稳态增长率解正好等于不同增长率物品在该组物品生产中的规模报酬扩充度平均增长率。由于对“增长率相等组”中的任何物品j都有     ，因而该组中的任何物品都有相同的不同增长率物品的规模报酬扩充度平均增长率。 
      2. 由于式（VI.2）中将基准物品的标准化稳态增长率解定义为1，故当时，“增长率相等组”共同的稳态增长率解与基准物品的稳态增长率解正负号相同；当时，“增长率相等组”共同的稳态增长率解与基准物品的稳态增长率解正负号相反。 
      在式（VI.2.2）中，若，则增长率相同物品在同类的第j种物品生产中的规模报酬递增；若，则增长率相同物品在同类的第j种物品生产中的规模报酬递减；若，则增长率相同物品在同类的第j种物品生产中的规模报酬不变。若，不同增长率物品对第j种物品生产的平均增长率为正；若，不同增长率物品对第j种物品生产的平均增长率为负。 
      依据上述含义审查式（VI.2.2），即可证明命题22的第2点成立。 
      3. 定义物品j生产的全自变量规模报酬递增程度 
                                                                          （VI.3）                                                                               
     当为零时，物品j生产的全自变量规模报酬不变；当为正数时，物品j生产的全自变量规模报酬递增；当为负数时，物品j生产的全自变量规模报酬递减。 
     若有m种物品的稳态增长率解相同，则 
                                                                  （VI.4） 
       如果我们讨论的物品j是一种增长率相同物品，再考虑到式（VI.1.1）和（VI.2.1），就有                                                      
                                   （VI.3.1） 
       依据上式可以直接说明命题22第3点中的所有论点。 
      4. 根据式（VI.4）， ，其中。而增长率相同物品在第j种物品生产中的规模报酬递增，意味着，此时必有。 
    证毕 

    二、只有一种物品有不同增长率 
       命题22涉及的情况是n种物品中有m种物品稳态增长率解相同。这种情况的一个特例是n = m + 1，也即n种物品中只有一种物品的稳态增长率解与其它物品不同，其它物品的稳态增长率解全都彼此相等。 
     对这种情况，我们可以很自然地将稳态增长率解与其它物品不同的那种物品视为基准物品，将它记为第n 种物品，以它为基础将各种物品的稳态增长率解标准化。在这种情况下，基准物品对第j种自变量物品生产的相对贡献率权重既是不同增长率物品在第j种物品生产中的规模报酬扩充度，也是不同增长率物品在第j种自变量物品生产中的规模报酬扩充度平均增长率。如果该权重等于1，第j种物品的生产是全自变量规模报酬不变的；如果该权重大于1，第j种物品的生产是全自变量规模报酬递增的；如果该权重小于1，第j种物品的生产是全自变量规模报酬递减的。 
      将命题22运用于这种情况，就可以直接从命题22中得出 
    推论22 
       在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果基准物品对其它各种物品生产的贡献率（）都大于零，且在稳态增长下，基准物品的稳态增长率解为正且不等于其它物品的增长率，但是其它各种自变量物品的稳态增长率解彼此相等，而在这些稳态增长率解彼此相等的物品中，增长率相同物品在任何一种物品生产中的规模报酬都不是不变的（即），则1. 基准物品对其它各种不同物品生产的相对贡献率权重都相等；2. 如果增长率相同物品在同类物品生产中的规模报酬递减，则非基准物品共同的稳态增长率解与基准物品的稳态增长率解正负号相同；如果增长率相同物品在同类物品生产中的规模报酬递增，则非基准物品共同的稳态增长率解与基准物品的稳态增长率解正负号相反；3.当所有的非基准物品在某种非基准物品的生产中规模报酬递减时，如果这些非基准物品共同的标准化稳态增长率解大于基准物品的标准化稳态增长率时，该种非基准物品的生产全自变量规模报酬递增；如果这些非基准物品共同的标准化稳态增长率解小于基准物品的标准化稳态增长率时，该种非基准物品的生产全自变量规模报酬递减；如果这些非基准物品共同的标准化稳态增长率解等于基准物品的标准化稳态增长率时，该种非基准物品的生产全自变量规模报酬不变；4.当所有的非基准物品在某种物品生产中的规模报酬递增时，该物品的生产必定为全自变量规模报酬递增。 
        还可以将对命题22所作的论证运用到推论22所说的特殊情况之下，以更严格地确知推论22所说的各个论点成立。 
      在推论22所说的情况下，根据式（I.11.3），对任何物品j，标准化的稳态增长率解必满足条件 
       
       由于除基准物品之外所有物品的稳态增长率都相等，所以对所有非n的i，都有。代入式（I.11.3），可知对任何非基准物品的物品j，都有 
                                              （VI.5） 
       据此很容易证明推论22的各个论点： 
       1. 式（VI.5）可进一步变为 
                                                      （VI.5.1） 
       由于从物品1到物品n-1的所有n-1个物品的都彼此相等，所以所有的非基准物品都有相同的基准物品相对贡献率权重； 
      2. 各种非基准物品共同的标准化增长率大于零时，非基准物品共同的稳态增长率解与基准物品的稳态增长率解正负号相同；各种非基准物品共同的标准化增长率小于零时，非基准物品共同的稳态增长率解与基准物品的稳态增长率解正负号相反。 
       物品j的生产对除基准物品之外的其它物品规模报酬递减，意味着；物品j的生产对除基准物品之外的其它物品规模报酬递增，意味着。由于所有的都大于零，根据式（VI.5.1），若，则各种非基准物品共同的标准化增长率必定大于零；而若，则各种非基准物品共同的标准化增长率只能小于零。 
      3. 在推论22所说的情况下利用对命题22第3点所作的论证，依据式（VI.3）和（VI.5.1），可知物品j生产的全自变量规模报酬递增程度 
                         （VI.3.2） 
       物品j的生产对除基准物品之外的其它物品规模报酬递减，意味着。显然在这种情况下，当时，，物品j生产上的全自变量规模报酬不变；当时，，物品j生产上的全自变量规模报酬递增；当时，，物品j生产上的全自变量规模报酬递减。 
     推论22的第4点过于显而易见，因此不需再作论证。 

    例子22：彼此相等的稳态增长率解 
       某经济的最终产品生产函数是全自变量规模报酬递增的：，其中为第i种自变量物品用于生产第j种物品的份额，K为物质资本的存量。自变量物品A的生产函数也是全自变量规模报酬递增的：。当该经济的稳态增长率有非零的解时，可以将自变量物品L看作基准物品，不必考虑其生产函数的状态。各种物品都没有折旧。 
     按照本书第一章所说明的运算程序，我们可以解出最终产品及3种自变量物品的稳态增长条件。由于定义物品L为基准物品，可以将其外生给定的增长率标准化为1，将物品K和最终产品的标准化稳态增长率解标为k，记物品A的标准化稳态增长率解为a。由此可知在稳态增长下，物品K和物品A的标准化稳态增长率必定是下述联立方程组的解： 
                                                               （例22） 
       由此解得，物品K和物品A的稳态增长率解彼此相等、与基准物品的稳态增长率解正负号相同且在绝对值上大于基准物品的稳态增长率解。简单的验算可以证明，物品K和物品A有相同的基准物品相对贡献率权重，其生产都对除基准物品之外的其它物品规模报酬递减，其生产又都是全自变量规模报酬递增的，因而在标准化稳态增长率解上大于基准物品。 

    第二节         无外来投入的规模报酬不变系统 

        上一节讨论的经济具有由多种物品组成的“相同增长率组”。这种经济的一个特例就是具有“无外来投入的规模报酬不变系统”的经济。以上一节讨论“相同增长率组”时使用的符号来表示就是，对“无外来投入的规模报酬不变系统”中的任一物品j来说，恒有且，即该系统中的任一物品j的生产都是全自变量规模报酬不变的且只是对增长率相同物品是规模报酬不变的。 

    “无外来投入的规模报酬不变系统”定义 
       设在n种物品中，有m种物品的生产是全自变量规模报酬不变的，且对这m种物品中的任一种物品j的稳态增长率解来说，恒有当物品i包含在这m种物品中时，第i种物品对第j种物品生产的贡献率，而如果物品i不包含在这m种物品中时，第i种物品对第j种物品生产的贡献率。我们称这m种物品构成一个“无外来投入的规模报酬不变系统”。 
       “无外来投入的规模报酬不变系统”中任何一种物品的生产都仅仅以本系统中的物品为投入，但该系统中的物品也可以在系统外其它物品的生产中用作投入。 
    命题23 
     在一个有n种物品、没有外生给定的增长率、折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果没有任何物品的生产是全自变量规模报酬递增的但有报酬递减物品，或者没有任何物品的生产是全自变量规模报酬递减的但有报酬递增物品，则仅仅在有m种物品（）构成一个“无外来投入的规模报酬不变系统”时，该经济才能既有非零的稳态增长率解、各种物品的稳态增长率解又有相同的正负号且并不全都彼此相等。此时“无外来投入的规模报酬不变系统”中的所有物品都有相同的稳态增长率解。在没有报酬递增物品时，报酬不变物品共同的稳态增长率解在绝对值上高于全自变量规模报酬递减物品的稳态增长率解；在没有报酬递减物品时，报酬不变物品共同的稳态增长率解在绝对值上低于全自变量规模报酬递增物品的稳态增长率解。 
    证 
       本命题只讨论各种不同物品非零的稳态增长率解有相同正负号的情况，因此以标准化的稳态增长率解来进行分析更为方便。以标准化的稳态增长率解来讨论本命题，各种不同物品非零的稳态增长率解有相同的正负号的情况就变为，各种不同物品标准化的稳态增长率解都大于零。 
     根据定义，对任何一个全自变量规模报酬不变的物品j来说，都有。将这一等式代入式（I.11.3），可知对任何报酬不变物品j，都有稳态增长的条件 
                                     （VI.6） 
       在此基础上，我们可以分别就没有报酬递增物品和没有报酬递减物品两种情况来证明本命题。 
       1. 没有报酬递增物品的情况 
     此时如果没有报酬递减物品，则所有的物品都在生产上全自变量规模报酬不变。第二章已经证明，在这种情况下，所有物品的稳态增长率解都会彼此相等，它们虽然有相同的正负号但不会彼此不相等。 
     如果在没有报酬递增物品的条件下有某些物品在生产上全自变量规模报酬递减，则根据命题9，任何报酬递减物品有非零的稳态增长率解的前提条件是存在全自变量规模报酬不递减的物品，它在非零的稳态增长率解上与该报酬递减物品有相同正负号，并在绝对值上大于任何报酬递减物品的有相同正负号的稳态增长率解。如果将非零的稳态增长率解绝对值最低的报酬递减物品当作基准物品，将稳态增长率解标准化，则作为基准物品的报酬递减物品有非零的稳态增长率解的前提条件就变为：存在全自变量规模报酬不递减的物品，它的标准化稳态增长率解不仅大于零且大于任何报酬递减物品的标准化稳态增长率解。 
     由于在我们这里讨论的情况下不存在外生给定增长率和报酬递增物品，这种报酬不递减的物品只能是在生产上全自变量规模报酬不变的物品。 
     假设物品j是这样的一个报酬不变物品，其标准化稳态增长率解不仅大于零，且大于任何报酬递减物品的标准化稳态增长率解。但是物品j的标准化稳态增长率解必须满足式（VI.6）中的稳态增长条件。如果在式（VI.6）表示的物品j稳态增长条件中，某种报酬递减物品对物品j生产的贡献率不为零，则由于报酬递减物品的标准化稳态增长率低于物品j，物品j的生产中就必须使用另外一种标准化稳态增长率高于它的报酬不变物品，使其对物品j生产的贡献率大于零，否则物品j稳态增长的条件无法成立。这就是说，如果任何一种报酬递减物品影响了报酬不变物品j稳态下的生产，该物品j稳态增长条件成立的前提就是，至少存在另一种报酬不变物品k，其标准化稳态增长率解大于物品j。 
     但是由于物品k也只能在生产上是全自变量规模报酬不变的，对物品j所作的分析也完全可以适用于物品k：如果任何一种标准化稳态增长率低于物品k的物品（报酬递减物品或报酬不变物品）影响了报酬不变物品k稳态下的生产，该物品k稳态增长条件成立的前提就是，至少存在另一种报酬不变物品，其标准化稳态增长率解大于物品k。如此递推下去，由于自变量物品数目有限，最后必定会推到有最高的标准化稳态增长率的报酬不变物品h。而对报酬不变物品j和k所作的分析也完全适用于报酬不变物品h：如果任何一种标准化稳态增长率低于物品h的物品（报酬递减物品或报酬不变物品）影响了报酬不变物品h稳态下的生产，该物品h稳态增长条件成立的前提就是，至少存在另一种报酬不变物品，其标准化稳态增长率解大于物品h。不过，由于物品h在该经济的所有物品中已经有最高的标准化稳态增长率解，它的稳态增长条件成立的上述前提不可能得到满足。 
     由此可知，在这里所讨论的情况下，如果没有至少一种报酬不变物品在其稳态下的生产中只使用标准化稳态增长率解与自己相等的物品，报酬递减物品稳态增长率有非零解的前提条件不可能最终得到满足。但是，前边对报酬不变物品h的分析表明，在这里所讨论的情况下，如果只有一种报酬不变物品在生产中只使用标准化稳态增长率解与自己相等的物品，这种物品的生产其实只以它本身作投入。根据式（I.5.1）和（I.5.2），这其实是一种增长率外生给定的物品，而在这里讨论的情况下，没有任何外生给定的增长率。 
     这样，在这里所讨论的情况下，如果没有至少两种报酬不变物品在其稳态下的生产中只使用标准化稳态增长率解与自己相等的物品，报酬递减物品稳态增长率有非零解的前提条件不可能最终得到满足，任何报酬递减物品都不可能有非零的稳态增长率解。只有在至少有两种报酬不变物品在其稳态下的生产中只使用标准化稳态增长率解与自己相等的物品时，该经济中的报酬递减物品才可能有非零的稳态增长率解。此时各报酬不变物品那共同的标准化稳态增长率解大于任何报酬递减物品的标准化稳态增长率解，而在生产中只使用标准化稳态增长率解与自己相等的物品的那些报酬不变物品则构成了一个“无外来投入的规模报酬不变系统”。 
       2. 没有报酬递减物品的情况 
     此时如果没有报酬递增物品，则所有的物品都在生产上全自变量规模报酬不变。第二章已经证明，在这种情况下，所有物品的稳态增长率解都会彼此相等，它们虽然有相同的正负号但不会彼此不相等。 
     如果在没有报酬递减物品的条件下有某些物品在生产上全自变量规模报酬递增，则根据命题14，任何报酬递增物品k有非零的稳态增长率解的前提条件是，或者存在稳态增长率解正负号与物品k不同的物品，或者存在全自变量规模报酬不递增的物品，它在非零的稳态增长率解上与报酬递增物品k有相同的正负号，并在绝对值上小于任何报酬递增物品有相同正负号的稳态增长率解。 
     但是在本命题所讨论的情况下，所有物品的稳态增长率解都有相同的正负号。因此我们在讨论任何报酬递增物品k有非零的稳态增长率解的前提条件时，不必考虑稳态增长率解正负号与物品k不同的物品。这样，在本命题所讨论的情况下，我们只须考虑任何报酬递增物品k有非零的稳态增长率解的一种前提条件：存在着全自变量规模报酬不递增的物品，它在非零的稳态增长率解上与报酬递增物品k有相同的正负号，并在绝对值上小于任何报酬递增物品有相同正负号的稳态增长率解。如果将非零的稳态增长率解绝对值最高的报酬递增物品当作基准物品，将稳态增长率解标准化，则作为基准物品的报酬递增物品有非零的稳态增长率解的前提条件就变为：存在全自变量规模报酬不递增的物品，它的标准化稳态增长率解大于零，但小于任何报酬递增物品的标准化稳态增长率解。 
     由于在我们这里讨论的情况下不存在外生给定增长率和报酬递减物品，这种报酬不递增的物品只能是在生产上全自变量规模报酬不变的物品。 
     假设物品j是这样的一个报酬不变物品，其标准化稳态增长率解大于零但小于任何报酬递增物品的标准化稳态增长率解。但是物品j的标准化稳态增长率解必须满足式（VI.6）中的稳态增长条件。如果在式（VI.6）表示的物品j稳态增长条件中，某种报酬递增物品对物品j生产的贡献率不为零，则由于报酬递增物品的标准化稳态增长率高于物品j，物品j的生产中就必须使用另外一种标准化稳态增长率低于它的报酬不变物品，使其对物品j生产的贡献率大于零，否则物品j稳态增长的条件无法成立。这就是说，如果任何一种报酬递增物品影响了报酬不变物品j稳态下的生产，该物品j稳态增长条件成立的前提就是，至少存在另一种报酬不变物品k，其标准化稳态增长率解小于物品j。 
     但是由于物品k也只能在生产上是全自变量规模报酬不变的，对物品j所作的分析也完全可以适用于物品k：如果任何一种标准化稳态增长率高于物品k的物品（报酬递增物品或报酬不变物品）影响了报酬不变物品k稳态下的生产，该物品k稳态增长条件成立的前提就是，至少存在另一种报酬不变物品，其标准化稳态增长率解小于物品k。如此递推下去，由于自变量物品数目有限，最后必定会推到有最低的大于零的标准化稳态增长率的报酬不变物品h。而对报酬不变物品j和k所作的分析也完全适用于报酬不变物品h：如果任何一种标准化稳态增长率高于物品h的物品（报酬递增物品或报酬不变物品）影响了报酬不变物品h稳态下的生产，该物品h稳态增长条件成立的前提就是，至少存在另一种报酬不变物品，其标准化稳态增长率解为正且小于物品h。不过，由于物品h在该经济的所有物品中已经有最小的正的标准化稳态增长率解，它的稳态增长条件成立的上述前提不可能得到满足。 
     由此可知，在这里所讨论的情况下，如果没有至少一种报酬不变物品在其稳态下的生产中只使用标准化稳态增长率解与自己相等的物品，报酬递增物品稳态增长率有非零解的前提条件不可能最终得到满足。但是，前边对报酬不变物品h的分析表明，在这里所讨论的情况下，如果只有一种报酬不变物品在生产中只使用标准化稳态增长率解与自己相等的物品，这种物品的生产其实只以它本身作投入。根据式（I.5.1）和（I.5.2），这其实是一种增长率外生给定的物品，而在这里讨论的情况下，没有任何外生给定的增长率。 
     这样，在这里所讨论的情况下，如果没有至少两种报酬不变物品在其稳态下的生产中只使用标准化稳态增长率解与自己相等的物品，报酬递增物品稳态增长率有非零解的前提条件不可能最终得到满足，任何报酬递增物品都不可能有非零的稳态增长率解。只有在至少有两种报酬不变物品在其稳态下的生产中只使用标准化稳态增长率解与自己相等的物品时，该经济中的报酬递增物品才可能有非零的稳态增长率解。此时各报酬不变物品那共同的标准化稳态增长率解小于任何报酬递增物品的标准化稳态增长率解，而在生产中只使用标准化稳态增长率解与自己相等的物品的那些报酬不变物品则构成了一个“无外来投入的规模报酬不变系统”。 
    证毕 

    例子23.1：“无外来投入的规模报酬不变系统”与报酬递增物品 
       某经济的最终产品生产函数是全自变量规模报酬递增的：，其中为第i种自变量物品用于生产第j种物品的份额，K为物质资本的存量。自变量物品A与L却组成了一个“无外来投入的规模报酬不变系统”： ，。各种物品都没有折旧。 
     按照本书第一章所说明的运算程序，我们可以解出最终产品及3种自变量物品的稳态增长条件。为了方便，可以将物质资本存量K定义为基准物品，将物品K和最终产品的稳态增长率解标准化为一，将物品L的标准化稳态增长率解标为，记物品A的标准化稳态增长率解为a。由此可知在稳态增长下，三种物品的标准化稳态增长率必定是下述联立方程组的解： 
                                                                （例23.1） 
       由此解得。正如命题23所说，“无外来投入的规模报酬不变系统”中的所有物品（A与L）都有相同的稳态增长率解（标准化为），它与报酬递增物品K的稳态增长率解有相同正负号（标准化稳态增长率解都大于零）且在绝对值上小于它（物品k的标准化稳态增长率解为1）。 

    例子23.2：“无外来投入的规模报酬不变系统”与报酬递减物品 
       本例所说的经济与例子23.1中的经济只有一个差别：最终产品生产函数是全自变量规模报酬递减的：，其它方面都与例子23.1一样。自变量物品A与L也组成了一个“无外来投入的规模报酬不变系统”： ，。各种物品都没有折旧。 
     按照本书第一章所说明的运算程序，我们可以解出最终产品及3种自变量物品的稳态增长条件。为了方便，可以将物质资本存量K定义为基准物品，将物品K和最终产品的稳态增长率解标准化为一，将物品L的标准化稳态增长率解标为，记物品A的标准化稳态增长率解为a。由此可知在稳态增长下，三种物品的标准化稳态增长率必定是下述联立方程组的解： 
                                                                （例23.2） 
       由此解得。正如命题23所说，“无外来投入的规模报酬不变系统”中的所有物品（A与L）都有相同的稳态增长率解（标准化为），它与报酬递减物品K的稳态增长率解有相同正负号（标准化稳态增长率解都大于零）且在绝对值上大于它（物品k的标准化稳态增长率解为1）。 
        由命题23可以直接推得 
    推论23 
     在一个有n种物品、没有外生给定的增长率、折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果没有任何物品的生产是全自变量规模报酬递增的但有报酬递减物品，或者没有任何物品的生产是全自变量规模报酬递减的但有报酬递增物品，则仅仅在有m种物品（）构成一个“无外来投入的规模报酬不变系统”时，该经济才能既有非零的稳态增长率解、各种物品的稳态增长率解又都大于零，且并不全都彼此相等。此时“无外来投入的规模报酬不变系统”中的所有物品都有相同的正的稳态增长率解。在没有报酬递增物品时，报酬不变物品共同的稳态增长率解大于全自变量规模报酬递减物品的稳态增长率解；在没有报酬递减物品时，报酬不变物品共同的稳态增长率解小于全自变量规模报酬递增物品的稳态增长率解。 
       所有n种物品的生产都全自变量规模报酬不变的情况是本命题在m = n条件下的特例，此时所有的物品都有相同的稳态增长率解。而一种物品的增长率外生给定、其它物品的生产都全自变量规模报酬递减的情况，以及一种物品的增长率外生给定、其它物品的生产都全自变量规模报酬递增的情况，都是本命题在m = 1条件下的特例。 

    第三节         一种物品的增长率外生给定 

        本书第五章已经说明，如果一种物品的增长率外生给定，在什么情况下各种不同物品的稳态增长率解会有不同的正负号。本节则将概括地说明，当一种物品的增长率外生给定时，在什么条件下各种不同物品的稳态增长率解并不完全彼此相等但有相同的正负号。 
      其实，第三章第三节和第四章第三节已经说明了两种情况，在这两种情况下，都有一种物品的增长率外生给定，而各种不同物品的稳态增长率解并不完全彼此相等但有相同的正负号：第三章第三节讲的情况是一种物品的增长率外生给定，没有报酬递增物品且至少有一种物品在生产上全自变量规模报酬递减，在这种情况下外生给定增长率的绝对值最高，而报酬不变物品在稳态增长率解的绝对值上高于报酬递减物品；第四章第三节讲的情况是一种物品的增长率外生给定，其它物品都在生产上全自变量规模报酬递增，在这种情况下外生给定增长率在绝对值上小于报酬递增物品的稳态增长率解。本节可以视为是对那两节所说原理的一个综合，同时本节又有独立的分析价值：它说明了外生给定增长率在绝对值上一方面低于某些物品的稳态增长率解、另一方面高于另一些物品的稳态增长率解的状况。 
    命题24 
     在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果基准物品有外生给定增长率，基准物品对其它各种物品生产的稳态增长贡献率（）都大于零，且在增长的稳态下，各种物品的稳态增长率有非零的解且正负号全都相同、基准物品与其它物品的稳态增长率解不相等，其它各种自变量物品的稳态增长率解也并不彼此都相等，则1.当有些物品在稳态增长率解的绝对值上大于基准物品时，稳态增长率解绝对值最高的那种物品的生产是全自变量规模报酬递增的；2.当有些物品在稳态增长率解的绝对值上小于基准物品时，稳态增长率解绝对值最低的那种物品的生产是全自变量规模报酬递减的。 
    证 
        本命题只讨论稳态增长率的非零解正负号相同的情况，此时各种不同物品的标准化稳态增长率解必定都大于零。以下分别讨论某些物品在标准化增长率上大于和小于基准物品的两种情况，以分别证明本命题中的两个论点。 
      1.如果所有物品稳态增长率解有相同正负号，则当第j种物品在稳态增长率解绝对值上大于基准物品时，；在这种情况下，第j种物品的稳态增长率解绝对值最高意味着对所有的，都有，并且由于各种自变量物品的稳态增长率解并不彼此都相等，至少对某些有。因此根据式（I.11.3），必有 
                                                   （VI.7） 
       上式可以变换为 
                                                                      （VI.7.1） 
       将不等式（VI.7.1）代入式（VI.3）中的物品j的全自变量规模报酬递增程度定义，有 
                （VI.7.2） 
        由于在这里讨论的情况下，，如果，必有，物品j的生产是全自变量规模报酬递增的。而如果，则由于，也必有，物品j的生产也是全自变量规模报酬递增的。 
     注意：如果时，式（VI.7.1）中的不等式仍然成立；而如果、时，式（VI.7.2）中的不等式依然成立。 
      2. 如果所有物品稳态增长率解有相同正负号，则当第j种物品在稳态增长率解绝对值上小于基准物品时，；在这种情况下，第j种物品的稳态增长率解绝对值最低意味着对所有的，都有，并且由于各种自变量物品的稳态增长率解并不彼此都相等，至少对某些有。因此根据式（I.11.3），必有     
                                                （VI.8） 
       上式可以变换为 
                                                                            （VI.8.1） 
       将上述不等式代入式（VI.3）中的物品j的全自变量规模报酬递增程度定义，有 

                             （VI.8.2） 
        由于在这里讨论的情况下，如果，则必有，物品j的生产是全自变量规模报酬递减的。而如果，则由于，，就会出现数量关系，由此使式（I.11.3）中的稳态增长条件不能成立。因而在这里所讨论的稳态增长条件下，必有，，物品j的生产是全自变量规模报酬递减的。而且由于，，也只有当时，式（VI.8.1）中的不等式才能成立。 
    证毕 

    例子24.1：外生给定增长率取中间值 
       某经济的最终产品生产函数是全自变量规模报酬递增的：，其中为第i种自变量物品用于生产第j种物品的份额，K为物质资本的存量。自变量物品A的生产函数是全自变量规模报酬递减的：。而自变量物品L的增长率则是外生给定的。各种物品都没有折旧。 
     按照本书第一章所说明的运算程序，我们可以解出最终产品及3种自变量物品的稳态增长条件。由于定义物品L为基准物品，可以将其外生给定的增长率标准化为1，将物品K和最终产品的标准化稳态增长率解标为k，记物品A的标准化稳态增长率解为a。由此可知在稳态增长下，物品K和物品A的标准化稳态增长率必定是下述联立方程组的解： 
                                                             （例24.1） 
       解此方程组，得。正如命题24所指出的，当3种自变量物品的标准化稳态增长率解都大于零时，标准化稳态增长率最高且高于外生给定增长率（这里标准化为一）的物品K在生产上是全自变量规模报酬递增的，标准化稳态增长率最低且低于外生给定增长率的物品A在生产上是全自变量规模报酬递减的。 
        注意:命题24只证明了在标准化稳态增长率高于标准化外生给定增长率的那些物品中,有最高的标准化增长率的那个物品是全自变量规模报酬递增的,并没有断定标准化稳态增长率高于标准化外生给定增长率的所有物品都是报酬递增的。类似的陈述也适用于那些标准化稳态增长率低于标准化外生给定增长率的物品。事实上，我们可以举出例证，说明在只有一种外生给定增长率的情况下，有些标准化稳态增长率高于标准化外生给定增长率的物品反而在生产上是全自变量规模报酬递减的。 

    例子24.2：报酬递增和报酬递减物品增长率都偏高 
       某经济的最终产品生产函数是全自变量规模报酬递增的：，其中为第i种自变量物品用于生产第j种物品的份额，K为物质资本的存量。自变量物品A的生产函数是全自变量规模报酬递减的：。而自变量物品L的增长率则是外生给定的。各种物品都没有折旧。 
     按照本书第一章所说明的运算程序，我们可以解出最终产品及3种自变量物品的稳态增长条件。由于定义物品L为基准物品，可以将其外生给定的增长率标准化为1，将物品K和最终产品的标准化稳态增长率解标为k，记物品A的标准化稳态增长率解为a。由此可知在稳态增长下，物品K和物品A的标准化稳态增长率必定是下述联立方程组的解： 
                                                        （例24.2） 
       解此方程组，得。不仅报酬递增物品K，而且连报酬递减物品A都在标准化稳态增长率上大于外生给定增长率（这里标准化为一）。但是本例并没有违反命题24：在标准化稳态增长率大于标准化外生给定增长率的物品K和A中，标准化稳态增长率最高的物品K在生产上是全自变量规模报酬递增的。 
        由命题24可以直接推得 
    推论24 
     在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果基准物品有外生给定增长率，基准物品对其它各种物品生产的稳态增长贡献率（）都大于零，且在增长的稳态下，各种物品的稳态增长率都大于零、基准物品与其它物品的稳态增长率解不相等，其它各种自变量物品的稳态增长率解也并不彼此都相等，则1.当有些物品在稳态增长率上大于基准物品时，稳态增长率最高的那种物品的生产是全自变量规模报酬递增的；2.当有些物品在稳态增长率上小于基准物品时，稳态增长率最低的那种物品的生产是全自变量规模报酬递减的。 

    第四节         没有外生给定的增长率 

       本节讨论在没有外生给定增长率的条件下，什么情况下稳态增长率会有非零的解，且各种不同物品的稳态增长率解并不全都彼此相等但正负号全都相同。本章第二节已经说明，当一个经济中具有“无外来投入的规模报酬不变系统”时，该经济的稳态增长率也会有非零的解，且各种不同物品的稳态增长率解并不全都彼此相等但正负号全都相同。而本节讨论的重点则是不存在“无外来投入的规模报酬不变系统”时的情况。 
     首先要论证一个最一般的定理，它适用于一切稳态增长率有非零解、且各种不同物品的稳态增长率解正负号全都相同的情况下。 
    一、“不可能全都报酬递减”定理 
    命题25 
     在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果没有任何物品的增长率外生给定，则当该经济的稳态增长率具有非零的解时，至少有一种物品的生产不是全自变量规模报酬递减的。 
    证 
        本命题其实是第三章的命题10的一个推论。但是这里可以用另一种方式来证明它。 
     第一章第四节的命题3指出，在一个没有外生给定增长率、折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果有非零的稳态增长率解，则其“稳态增长条件系数矩阵”A的第n个列向量可以象式（I.11）所示的那样由其它n-1个列向量线性表出： 
                                                                                      （I.11） 
       列向量的第j行因此表为 
                               （VI.9） 
       由此可以将第j种物品生产上的全自变量规模报酬程度表为 
                                  （VI.9.1） 
       式（VI.9.1）最右边的只是针对前n - 1个物品i的，因此当时，；而当时，只能恒有。考虑到与的这种关系，再将式（VI.9.1）的两边都减去一，就得第j种物品规模报酬递增的程度 
                     （VI.9.2） 
       根据对规模报酬程度的定义，若规模报酬递增程度等于零，则物品j的生产全自变量规模报酬不变，大于零则物品j的生产全自变量规模报酬递增，而小于零时物品j的生产报酬递减。这个规模报酬递增程度方便了对本命题的论证，因为当物品j的生产全自变量规模报酬递减（即小于一）时，根据式（VI.9.1）恒有。 
     第一章第四节第二小节已经指出，式（I.11）中的各个其实就是以第n种物品为基准物品所得出的前n - 1种物品中第i种物品的标准化稳态增长率解。 
     在利用式（VI.9.2）证明命题25时，我们只须研究下述情况：对任何物品j，都有。因为对任何物品j都有，所以对任何物品j如果不是，则该物品的生产已经不是全自变量规模报酬递减，此时的情况已经合乎命题25。 
     根据式（VI.9.2）可知，如果所有的都等于1（基准物品的标准化稳态增长率解），则规模报酬递增程度对所有的物品j都等于零。这意味着所有物品的生产都全自变量规模报酬不变。这印证了本书第二章的命题：如果所有物品的生产都全自变量规模报酬不变，则所有自变量物品都有相同的稳态增长率解。这种所有物品都有相同稳态增长率解的情况，当然也包括了所有物品的稳态增长率解都为零的情况。这时式（I.10.4）所示的齐次线性方程组有零解。 
     该齐次线性方程组有非零解的情况可以分为两种：所有的都不大于1和至少有一个大于1。          由式（VI.9.2）可知，如果所有的都不大于1，则至少第n种物品的规模报酬递增程度不小于零，因而此时它的生产是全自变量规模报酬不递减（递增或不变）的，此时的情况已经合乎命题25。 
     要使第n种物品生产的规模报酬递减，即要使小于零，就必须至少有一个i不等于n的大于1，这就是至少有一个大于1的情况。在这些大于1的中，必可以找出一个值最大的，将其标为。假设在非物品n的n-1种物品中，增长率等于的物品有m个，将其标为物品h，增长率不等于的物品有s个，将其标为物品f，则m + s = n -1。按定义必有，从而。而且对于任何物品j，都必有。 
     这里已经假定了，因而。在的情况下，因为较小的数乘以一个负数之积大于较大的数乘以同一个负数之积，因而。于是对这样一个物品j就有 
       
        而根据式（VI.9.2），对于任何非物品n的物品j，如果有，就必有       ，此时物品j的生产全自变量规模报酬递增。此时的情况也合乎命题25。 
     综合以上分析，在命题25所函盖的各种情况下，命题25都成立。 
    证毕 
        由命题25可以直接推出命题10： 
    推论25 
     在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果所有物品的生产都是全自变量规模报酬递减的，没有任何物品的增长率外生给定，则该经济的稳态增长率不存在非零的解。 
       由命题25还可以直接推出 
    推论25.1 
     在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果没有任何物品的增长率外生给定，则当所有物品的稳态增长率解都大于零时，至少有一种物品的生产不是全自变量规模报酬递减的。 
    (本文为全文第三部分, 其它内容待续)