经济计量模型的合理性问题

    （中国社会科学院经济研究所，邮编：100836） 
    内容提要：经济计量模型是通过对观察的经济数据进行分析而得到经济结果的方法，从数学上讲属反演问题，而这类问题大多是不适定的。所以不可随意运用计量方法来构造经济预测模型并进行政策分析，其原因是数据误差和模型内在的偏差。本文在一般性的框架内考察了经济计量分析的逻辑基础，认为经济计量模型不适定可通过估计方法的改良得以消除。 
    主题词：经济计量模型  适定性  反演最小二乘法 
              一、导言 
    虽然自人类进入高级社会后，经济活动是重要的内容之一，不过，经济学作为人类有目的的去认真考虑经济活动的性质、特征及动态变化却不是一门古老的学科，一般认为是产生了资本主义制度以后的事。但是，经济学家的野心却是帝国主义的，作为一个后来者，它挟其持有的分析工具上的优势不断侵吞如政治学、法学等一些古老学科的领地。与此相对照，许多经济学分析工具的合法性问题却从未认真考察过，经济计量模型即为一例。 
    经济系统是一个复杂的人类活动空间，而经济学则是对该系统的特征、演化进行研究的学科。因为所用分析工具和出发点不一样，研究中分为侧重从实际经济观测现实的经济运行数据，利用统计推断工具来得到有经济含义的结论实证经济学和从假定的前提条件出发进行逻辑演绎的规范经济学。从工具的特性看，前者属反演逻辑，既从系统的输出分析系统运行的特征；后者属正向逻辑推断，由条件推断结果。从数学性质来讲，正向推断一般是合逻辑的，本文将不再对其进行讨论；与此相反，反演则不一定是合理的，所以本文将考察反演(即计量经济模型)问题的合法性问题。 
    依计量经济学先驱者Frish(1933)的定义，“统计学、经济理论和数学理论，且正是这三者的结合构成了经济计量学”；而将计量经济学规范化的Haavelmo(1944)则认为计量经济学是整个经济理论的基础，且其本身就具分析性和预测性；但经济学界比较同意的说法是Samuelson、Koopmans、Stone(1954)年的定义，“在理论和观察同时发展的基础上，用适当的推理方法叙述的、对实际经济现象的数量分析”；而现实研究中则是依Christ(1966)的说法“它或者是解释我们已经见过的变量的动态，或者是预测我们尚未见到的动态，或者两者都有”。 
    计量经济学本身是年轻的科学，但其应用的推广却非常迅速，特别在二十世纪五十——六十年代，由计量经济学家主导的考尔斯委员会(Cowles)，以联立方程为主要工具，以宏观经济学为基地将计量经济学的领域推到了全部经济学，试图构造一个计量经济预测模型帝国，其作用一直延续到二十世纪六十年代末。其后，随着古典经济学思想的复兴，出现了以Lucas(1976)牵头的计量经济学批判，但该方法对经济数据的误差没有涉及。另一方面，因为认识到经济数据的误差（异方差性和自相关），计量经济学对估计方法（如最小二乘法）进行了拓展，但该方法的不足是：一是忽视了Lucas批判提出的模型构造偏差的作用；二是在方法上只是最小二乘法的简单推广，没有系统解决理论和数据误差的一套理论，由此构造的计量经济预测模型仍无法令人满意。针对该现状，本文从考察计量经济模型的数据误差入手，进而提出克服模型不适定性的理论和方法，从而解决计量经济模型的合理使用问题，其结果也归结于对估计方法的改进。 
    二、经济计量模型为什么会出现不合理 
    计量经济学教材（Green,1993）对经济数据的描述导出了估计方法的改进问题，本文对该方法加以推广，以在更宽的范围讨论该问题。依经济分析的传统，一般将经济空间定义为向量空间（见Debreu(1959)），也可具体化为Banach空间或欧氏空间(见Stokey and Lucas(1989))。为本文的分析方便起见，我们将经济空间定义为带内积的完备度量空间，即Hilbert空间（这样易于讨论问题的完备性）。在最一般的意义上，我们可将经济模型抽象为如下算子方程： 
                                                          （2.1） 
    式中：为Hilbert空间，K为线性或非线性算子。（2.1）式所表示的关系可提出两方面的问题，一是将作为自变量，来求得的值，这可称为一般经济模型的正问题；另外是已得的值来推导应满足的关系，我们所要讨论的计量经济模型就是这种形式，这称反演方程。从数学的角度看，正问题有解并非必导致反演问题有解，反演方程的解并不是无条件能得到的，相反，反演问题在许多情况下从数学上看是不适定的（一个数学方程称为适定的是指K满射、双射且连续，否则问题不适定），即它的解不一定存在，即使解存在也不唯一，或在解存在唯一的条件下也不稳定（即解不连续依赖于初始资料，不连续）。 
    为分析更有针对性，我们不去讨论解的存在唯一性问题（可以认为计量经济预测模型存在唯一解），而是依计量经济模型的特点去讨论解的稳定性问题。Lucas(1976)关于计量经济预测模型批判讨论的不适定问题来自模型假设方面，即理论偏差（我们认可Lucas的结论，不再做进一步分析）。我们这里从数据误差上入手，考察是否存在一稳定的理论近似解来逼近真解。要使（2.1）的反演方程成立，由于g是统计得到的，故有误差，记为g的近似，实际上我们要讨论的方程为：，由于不连续，所以不能用来作为近似解，因为当时不能保证。这就需要设法构造一近似解，使当时，。 
    自然我们要提的核心问题是，为什么计量经济模型的解一般是不稳定的。为回答这个问题，我们对方程存在唯一解的情况进行讨论。设为紧线性算子（即为线性算子且将中有界集映成中相对紧集），为的共轭算子，，由数学理论（泛函分析）知，是中非负的紧的自共轭算子，其特征值可记为，对应的特征向量记为。设，同时记的算术平方根，可以得到： 
    我们令代入上式得： 
                                                              （2.2） 
    分别为、中的标准正交系。我们又记，称为的0空间，故对有： 
                                                     （2.3）  
    （（2.3）中的符号表示两变量的内积）。在为紧算子时，对反演问题有以下的定理： 
    Picard定理： 方程(2.1)可解的充要条件是： 
    a、 
    b、 
    此时得到的解为： 
                                                       （2.4） 
    从（2.4）式看到，反演问题不适定是由引起的。理由是，设为的近似值，即：，其中是一充分小的量，则有：。将相对应的解记为，则从（2.4）式知：，故得估计式：。所以，在时，因为，引起，即不适定问题就出现了。 
    计量经济预测模型之所以会出现不适定问题，是因为经济统计数据作为经济系统的输出受到了各种各样的干扰，从而产生了误差（异方差性和自相关），用这些数据作为初值来确定经济模型，就会出现问题的不适定，所以试图用传统计量方法（如最小二乘法）来直接构造经济模型及至预测经济变动，一般是不可行的。因为计量预测模型对初值（统计数据）的过度敏感，使模型预测能力失去了能力。为了使计量经济预测模型可用，就需要想办法去消除的作用。可以这样直观地考虑，对可能产生不适定结果的（2.4）式进行变换，加进称为阻尼函数的项，将（2.4）式变换为： 
                                             （2.5） 
    试图通过来抵消的作用。对阻尼函数提出的要求是： 
    a、为上的有界函数,记为：； 
    b、对，，使：，从而保证能消除的影响； 
    c、，通过本式保证了能逼近。 
    由上面三条假设可得到如下结果： 
    如果满足上面a、b、c三个条件，且为单叶紧线性算子，则： 
                                     （2.6） 
    （2.6）式的证明如下： 
    因为为单叶，故，由（2.3）知或，这时： 
       ，而： 
        
    可得到： 
     
    而对，，可得：；当时，取充分小可使： 
    ，所以： 
    或。 
    这样的依上述思路能找出很多来，但既使由而得到了并不等于就解决了问题，反而产生了新问题，我们来看。若（2.1）存在唯一解，记为，为的近似值即充分小。对应于来解方程，设其解为，这个解是否适合？事情并非必然如此。因为： 
                                           （2.7） 
    （2.7）式成立的道理在于若要求，则必须，所以该式不会必然趋于0，而是只对特殊的如此。由此可知，选择合适的以使，就成了解决（2.1）不适定问题的关键。 
    但是，我们看到上面提出问题的方式虽然直观，但不严密，寻找的过程中是一个凑合问题的思路，为使问题的解决更严谨，可利用Tikhonov(1977)的正则化方法来进行分析。正则化方法的特点是将问题转化成一个变分问题，以保证当初始数据误差很小时，近似解能收敛于真解。 
    我们的基本思路是，假设观测所得到的数据误差不大，并使，这时求问题（2.1）的反演等价于求解变分问题： 
                                                （2.8） 
    而且，可将上式变为容易分析的等周变分问题（Kress(1989)）： 
                                                          （2.9） 
    对于（2.9）型的变分问题通过Lagrange乘子法又可化为如下无约束条件下的泛函极值问题： 
                                       （2.10） 
    （2.10）式中的称为光滑泛函，称为正则泛函，称为正则化参数。对于（2.10）的解的特征，Tikhonov(1977)得到了如下的定理： 
     设为Hilbert空间，，为常数，，则存在唯一的满足： 
     a、  
     b、是由如下方程给出的唯一解：（是单位向量）    （2.11） 
     c、连续依赖于。 
    (2.8)的合理性是由下面的定理保证的： 
    设为Hilbert空间，，，，若满足，。则对任意，方程（2.1）存在唯一带有偏差为的解（Kress(1989)）。 
    所以，（2.11）是否有解取决于的性质如何，这与前面直观方法得到的结论相同。该方法的基本想法是，因为模型的不适定来自数据的误差，所以在反演时为避免不适定的出现，应在优化程序中将数据的误差一并考虑，这就是反演方法的基本特征。当然在计量经济模型中不仅有来自数据的问题，还有模型的构造误差，但基本思想却是相同的，只不过在考虑误差的方法上有所差别。我们的想法是依照计量经济学的传统从最小二乘法入手进行分析以构造反演估计方法。 
    三、消除计量经济模型的不适定——反演最小二乘法 
      
    我们看到，上面用抽象的变分方法得到了一条改进计量经济模型估计方法的思路，但却不能直接用，我们从最基本的估计方法入手来使用上面的思想。为分析的简便计，我们从考察最基本的估计方法——最小二乘法开始。 
    假定有一组观察数据，想用来拟合一个线性方程：（为阶列向量,为阶矩阵(设有个自变量,个观察值),为未知参数的阶列向量,为误差列向量）。为使估计有意义，设的元素不是随机的且具有限方差；服从，且的正态分布（为的单位矩阵，为的转置向量），最小二乘法就是在已知观察值的情况下得到估计值，通过优化程序：得到：。 
    但是，我们看到，最小二乘法对数据的误差有特定要求，即，在经济数据存在自相关或异方差的情况下该程序得到的结果不合理，而广义最小二乘法针对这一缺陷提供了另一程序，但所用的方法与最小二乘法相同。这时令：，为一已知的正定矩阵（不一定是单位矩阵），广义最小二乘法就是在已知观察值的的情况下得到估计值。而按照线性代数理论，可以对数据进行变换，使变换后的误差项的方差与协方差矩阵为。因为：，利用与最小二乘法同样的优化程序得：。当然还有多种与广义最小二乘法相似的改进估计方法（如Hall（1992）），但它们都不能完全解决计量经济模型的不适定问题，看起来要寻找另外的思路，而反演是一种有效的方法。 
    反演方法是利用概率论中的贝叶斯推断方法，在给定观测数据信息、理论模型信息及模型参数先验信息后，求模型参数的后验信息（概率密度）。 
    先看数据方面。设对经济系统的输出进行了观察，用概率密度表示；令为经济系统的真正输出为，但经统计后的输出为的条件概率密度；为，的联合概率密度；又设对经济系统的输出事先不知道，则的概率密度可取为非信息概率密度（非信息概率密度指在全信息空间中反映的信息量最小的信息状态的概率密度），得： 
                                               （3.1） 
    而由条件概率密度的定义有： 
                        （3.2） 
    依计量经济模型估计的基本假设，最小二乘法及广义最小二乘法都假定输出误差为高斯型，这时有（如果数据中有离群点则需用另外的公式）： 
            （3.3） 
    （3.3）式中为被观测的数据空间的维数，为观测数据的协方差算子。 
    再看理论模型。依Lucas(1976)的分析，在构造计量经济模型的理论时，因为模型参数设定差异，会得到不同结果，设理论模型为：，理论误差的条件概率密度，同样假定误差为高斯型，得： 
                （3.4） 
    （3.4）式中为理论模型的协方差算子，它是模型参数的函数。 
    模型空间与数据空间的联合先验信息用表示，当模型参数的先验信息与经济数据输出无关时有：。而模型参数和经济数据输出的预测理论关系可用联合概率密度来表示，当模型参数处于非信息状态时：。 
    模型参数的先验信息、观测数据的信息和理论信息的结合形成空间的后验信息，其概率密度可表为： 
                                               （3.5） 
    （3.5）式中表示非信息状态的概率密度。这时模型空间中后验信息的概率密度为： 
               （3.6） 
    进一步设模型参数先验信息的概率密度分布为高斯型，因为两个高斯型概率密度函数乘积的积分仍为高斯型概率密度函数，（3.6）式可化为： 
                        （3.7） 
    （3.7）中先验模型参数，为一常数。为了分析上的便利可将（3.7）合并为： 
                （3.8） 
    由此可知,寻找模型参数中心估计值的概率方法在于找到,使达最大，即实际上是求模型参数的最大似然值。按计量经济学的传统，我们可设观测数据的误差互不相关（加果出现自相关等用广义最小二乘法程序也可得到下面的结果），则、均简化为对角矩阵： 
        
    这时（3.8）式简化为： 
      （3.9） 
    求达最大，实际上就是求的最小值，我们看到这就是熟悉的最小二乘法，所以将其称为反演最小二乘法。但我们应注意到：一是反演最小二乘法是在充分考虑了理论建模和数据误差后得到的，所以通过该程序得到的结果自动消除了不适定性因素；二是该程序的理论基础是贝叶斯推断，因为模型和数据中的许多因素事先不知道，只能对先验概率做推断，这种建模方法虽有主观因素在内，但比完全忽视理论和数据误差强（如Lucas(1976)提出的批判和改进都是先验假设，但Lucas的思想长期未被计量经济学吸收改进，只是宏观经济学家在建模时用到：A.Estrella and J.C.Fuhrer(2002)）。所以，反演最小二乘法与最小二乘法只是形式上的相似而已，本质上是两种不同的方法，Lucas的思想也吸收其中（当然表现形式不同）。 
    四、反演最小二乘法的基本算法 
      
    1、通过反演最小二乘法直接建模的一般算法 
    从（3.8）知，可以要通过反演最小二乘法进行直接建模，即通过解极值求得。因现实的经济模型一般都是非线性的，优化程序的选择很重要，一般方法有最速下降法、牛顿法、共轭梯度法等，这些方法在计量经济学教科书有一般概述（Green(1993)）我们不再详述，而只是给出反演算法的结果。依一般优化程序，我们对作泰勒展开： 
                  （4.1） 
    记，称为梯度，为海赛（Hesse）算子，称为最速上升方向。并可由此得到： 
                                     （4.2） 
    将上面的讨论放到某一个具体空间点，则可用离散化的优化计算程序来求出结果(如在n点记为)。 
    a、最速下降法 
    所谓最速下降法就是在点沿方向进行搜索，又称直线搜索。因为这里要找在所在直线的极小值，故要从点出发沿方向搜索，可令：（为正常数）。这时可记搜索过程为：，上式中括号内第一个变量为搜索起始点，第二个变量为搜索方向，这实际上是找使沿方向上的点满足使在此搜索方向上最小。这时，过点沿方向的直线必与的等值相切，而切点就是。通过一个优化过程可得： 
                                    (4.3) 
    b、牛顿法 
     牛顿法的基础泰勒级数近似，设为的二次函数，表为： 
     
    则有梯度：，在离散状态下有：，由此可得： 
      (4.4) 
    这时可用前述的直线搜索法求得或在附近将线性化（取）。 
    c、共轭梯度法 
    该方法的思路是先令为反演的起始点，为处的最速上升方向，沿进行直线搜索确定一极小点；以为新起始点再进行直线搜索，通过多次搜索得到最小值，具体算法是a的重复。 
    当然还有数种反演算法，但上面三种是最基本的。 
    2、反演最小二乘法的标准估计方法 
    上面利用反演最小二乘法建模，只是取该反演方法与最小二乘法形式上的相似。我们知道最小二乘法可以适用于一大类线性建模，是一种标准估计方法。依此要求，下面我们将反演最小二乘法标准化，从而变成一种通用估计方法。 
    首先，我们看到当理论关系式为线性表达式时，有：一系列的表达式都可以简化。（3.8）式这时简化为： 
                  （4.5） 
    对（4.5）在的中心估计值处作泰勒展开并令一阶导数项为0（以求极小值）得： 
    ，即： 
    ， 
    令： 
                     (4.6) 
    得： 
      (4.7) 
    及 ：                                  由以上各式得到： 
                    （4.8） 
    所以，为的极大似然值，同时也是的均值与中位数；为模型参数的后验协方差算子。以此为基础我们来得到线性最小二回归的标准结果。在有一组观测数据的基础上试图拟合出关系式，我们令： 
     
    设的误差服从高斯分布且观测数据互不相关，观测数据的误差和模型参数的误差也不相关，故观测数据的协方差矩阵为： 
          
    设已经给出了先验模型参数：，且模型参数服从高斯分布，故模型参数协方差矩阵为： 
          
    式中为参数与间的相关系数。将上面诸条件代入（4.6），（4.7）得： 
                                          （4.9）（4.9）式中： 
     
    如果模型参数的误差互不相关，则上面式中的；而若所有的观测数据都有同样的标准差，则有：，上面的结果还能简化。 
    一个有意思的结果是，如果我们在建模时不考虑模型参数的先验信息（即不考虑理论误差），这时可取，得：，这时（4.6），（4.7）变为： 
       
        
    我们看到，这一结果与广义最小二乘法估计相似。所以，我们达到了想要的结果，既反演最小二乘法确是现有计量经济模型估计方法的推广。 
    五、结论 
    经济系统是一个复杂的人文系统，要对其进行定量分析，通过观测系统产出来推断系统行为的经济计量模型因为受到数据和理论假设误差的影响而会出现不适定的结果。要消除不适定利用反演方法，将数据和理论假设误差考虑进模型是一种可行的方法，而且在不考虑理论假设误差时该方法与一般经济计量模型估计方法一致。所以，反演方法既能消除Lucas批判中提出的问题，又是经济计量模型估计方法的推广。 

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    Abstract:  Econometric model is a method of through the analysis of economical data to get the economical result, it is the inverse problem in mathematics, but many of this kind of question are ill-posed problems. Therefore we can't use the econometric model to get forecast model or take policy analysis, the reason is that the error of data  and the intrinsic warp of theoretical model.  This article inspected the logic foundation of econometric model in general frame, we thought that the ill-posed problems can be eliminated by the improvement of estimate method.