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会员注册（中国社会科学院经济研究所，邮编：100836）
内容提要：近来，关于人民币汇率问题的议论成了社会热门话题，但却缺少真正从理论或实证方面严肃分析人民币汇率问题的讨论。本文从一个随机的开放经济模型出发，探讨了汇率决定的机制与政府宏观政策的效应，基本结论是，如中国这样的发展中的开放国家，不论实行何种汇率制度，其货币在相当长的时期都存在贬值预期，只有在经济增长风险降到一定水平后才可能产生升值预期，而目前中国并未达到这一水平。所以，目前人民币的升值压力并不是长期的，而只是一些利益集团的短期行为。
关键词：人民币汇率 汇率风险升水 宏观政策效应
一、引论
从2002年下半年起，因为世界经济持续低迷，中国经济已显强劲增长态势，由议论中国向全世界输出通货紧缩始，矛头转向了人民币汇率问题。因为要抑制中国制成品的低价出售，唯有提高产品成本，在中国国内物价稳定，劳动力工资不可能大幅提高（大量农村剩余劳动力和城市失业者压抑了工资上升空间）的前提下，币值变动是短期最有效的措施。道理是中国经济一直保持稳定而高速增长态势，而且预期如此，而美国等西方国家近几年增长状况不好，而且中国拥有庞大的外汇储备和连年顺差，所以人民币就产生了升值预期，有研究者还为此算出了低估值（也就是升值空间）。而且，有热钱找到了可能的套利机会，大举进入国内，给国内金融政策施压。虽然政府一直强调人民币币值保持稳定的承诺，但似乎这种承诺是不可信的，人民币升值好象只是时间和幅度问题。但是，人民币升值是一种反推逻辑，并不能让人信服，因为它是以中国出口了低价产品为前提的，而这一判断本身的可靠性就令人起疑。
事情真的如议论中的那样吗？从理论上讲，汇率决定机制是一个复杂的国际宏观政策和增长风险比较的结果，而非顺差或增长潜力等单一因素决定。所以，要从科学上而不是从某些人的口味上来讨论汇率问题是研究人民币汇率问题的前提。发展中国家的经济发展史证明，虽然许多国家保持长期快速的经济增长，但他们的币值都是长期的贬值预期，中国前二十多年的经历也如此，怎么会一夜之间人们对人民币就会产生长期升值预期，其理由何在。
汇率只是一个价格比例，但其决定机制却是复杂的。对汇率问题的研究也早已超越了早期固定与浮动汇率、购买力平价与利率平价等问题的讨论，而是将汇率作为一种价格纳入开放宏观经济学的理论框架，综合分析政策效应、增长风险与汇率变动动态。目前该领域的研究主要有两种方法，一种是传统凯恩斯模型的开放扩展，即开放经济IS—LM模型；另一种是代表性代理者模型及其随机扩展，该方法使用的是连续时间的随机分析方法，该方法最早在金融市场得到广泛应用（综述见Merton(1990),Duffie(1996)等），将其引入宏观经济研究则迟至二十世经八十年代，如Stulz(1981,1984,1987),Adler and Dumas(1983)，其后该方法得到了进一步拓广（Grinols and Turnovsky(1994)，Obstfeld(1994)，Turnovsky and Grinols（1996））。而且，在这种宏观模型的发展过程中，吸收了汇率理论中的理论和实证结果，如Frenkel(1986),Giovannini and Jorion(1987),Lewis(1988),Engel and Rodrigues(1993),Hakkio and Sibert(1995),Engel（1996）关于汇率风险升水方面的研究，从而形成了一个从动态和宏观角度讨论汇率内生决定和宏观政策效应的体系。本文通过构造一个不完全开放的小国随机代表性代理人宏观经济模型来讨论人民币汇率问题。
二、基本模型
为分析的便利，我们将中国抽象为一开放小国，原因是在国际市场上我们基本上是价格接受者的角色，而不是有人宣称的价格决定者。为反映中国市场的特征我们先做如下假定，有代表性的市场行动者选择一种可贸易品进行消费，并将资产在本国货币
、本国债券
、本国企业的股权
。以
表示可贸易品的国内价格，
表示可贸易品的国外价格，
为名义汇率，用单位外币的本币数量表示（直接标价法）；而且设
是外生的，而
、
内生，不妨设这三种价格的变动遵从几何布朗（Brown）运动过程(这是从金融市场理论得到的启示，且该假设基本符合现实价格过程（见Merton（1990）），即： 
（2.1） 式中
、
、
是三种价格预期的瞬时变化率，
、
、
为独立且都为正态分布的随机变量，其均值都为0而瞬时方差为
、
、
。 设国际贸易为单一的可贸易品，则本国的价格水平与国外价格通过购买力平价联系：
（2.2） 对（2.2）式求随机微分得（见Merton（1990））：
（2.3） 将（2.1）代入（2.3）得：
（2.4） （2.4）中
为
与
间的协方差。 一般而言，一个价格为
，每期支付的利息为
的债券，其随机报酬率定义为： 
。设在
期间本国债券支付非随机的名义利率
，则本国居民持有的货币、本国债券的实际报酬率为： 
（2.5） 设本国企业的产出流量
是使用其资本
并借助随机不变规模报酬技术得到的，这时： 
（2.6） 式中
为资本边际产出，
为独立且为正态分布的随机变量，其均值为0而瞬时方差为
。进一步设投资调整是无成本的，则资本（股票）的实际报酬率为： 
（2.7） 本国政府的政策由支出、货币与债券发行及征税行为组成，政府的实际预算约束为：
（2.8） 式中
为本国政府的征税；
表示随机的实际政府支出，设它由如下的过程决定： 
（2.9） 
为独立且正态分布的随机变量，其均值为0而瞬时方差为
。同时，设政府的货币政策是使货币变动遵循如下规则： 
（2.10） 
为平均货币增长率，
为独立且正态分布的随机变量，其均值为0而瞬时方差为
。而且，政府的债务政策用维持所选择的本国政府的债券—货币比率来确定，即：
，则
为由政府确定的政策参数。 本国代表性消费者的财富预算约束（总财富为
）为： 
（2.11） 而且，代表性消费者以一个非随机性数量
进行消费。代表性消费者的目标是选择合理的消费与资产组合以最大化其如下期望效用（在我们的消费者效用函数中包括了实际货币余额及消费的效用）： 
（2.12） 代表性消费者的预算约束为：
（2.13） （2.13）中：
为代表性消费者的资产组合中以货币方式持有的份额；
为以本国政府债券方式持有的份额；
为以本国企业股份（资本）持有的份额；
为支付给本国政府的税，而税收的变动应满足（2.9）所确定的政府预算约束，可将其变动规则设为： 
（2.14） （2.14）中
为独立且正态分布的随机变量，其均值为0而瞬时方差为
。 为统一考虑代表性消费者的预算约束，我们将各资产组合份额
及各资产实际报酬率
代入（2.11）、（2.13）并将二式相除得： 
（2.15） 利用随机贝尔曼（Bellman）动态优化方法（见Merton（1990）及本文附录2），可得到如下的最优化条件（具体推导见本文附录3）：
（2.16） （2.16）式中包含消费、货币余额与股票债券三方面的条件，它与非随机优化的区别在于考虑了消费与资产的风险。
三、宏观经济含义及政策效应问题
下面，我们从基本模型出发进一步分析其经济含义和政策效应问题。在基本模型中我们确定的外生要素为货币政策变量
、政府支出率
、债务政策
、偏好与技术参数
、
与
；有两个随机变量对经济形成冲击，即政府支出冲击
和生产力冲击
，而且税收的随机部分
、实际财富的随机部分
也被外生决定。至少三个货币冲击
、
、
中有两个是内生决定的，这依赖于政府的金融政策：如果货币增长率被独立地确定为目标时，则
是外生的；而若政府将汇率确定为目标时，则
是内生的。 1、 宏观变量的基本均衡。
依国民收入恒等式有：
，又可表为： 
（3.1） 最优化条件（2.16）又意味着如果资产在时间变化中有相同的随机特征，在均衡时资产组合的份额将保持不变。设不变的资产组合份额条件为：
，则价格为：
，对它取随机微分得： 
（3.2） 将
、
的表达式代入（3.2）式右边有： 
将上式代入（3.2），并令随机和确定性部分各自相等，得：
（3.3） 由（3.3）知，本国的预期通货膨胀率同预期货币增长率呈正比，与可交易资产（这里主要指国债和股票）的预期增长率呈反比变动，而且它与可交易资产的增长率的方差呈正比，随货币增长率与可交易资产增长率间的协方差而递减。这是本国货币政策变动的重要依据，为使货币变动形成最小的对价格的冲击，应充分考虑消费者的资产组合意愿，使货币变动不要引起消费者持有可交易资产的大幅波动。
当资产组合份额不随时间变化时，消费者财富的实际部分会以相同的随机增长率变动，即：
（3.4） 这时可将最优化条件（2.16）中的均衡消费—财富比例表述为：
（3.5） （3.4），（3.5）式中
可理解为财富的平均增长率，它由消费者持有的资产和消费确定；
则可可理解为经济的总报酬率，而消费—财富则决定于总资产中消费的比例
、贴现率
、总报酬率
和效用选择系数
。 对政府的税收变动（2.14）式两边同除以
，并适当变换得： 
（3.6） 将有关变量的表达式代入（3.6）得：
（3.7） 令（3.7）式随机和确定性部分各自相等得：
（3.8） （3.8）式表明如果政府债券的利息支付高则平均税率也高，而一较高的货币增长率则会使平均税率下降，但如果货币增长率与价格水平间的正协方差降低则要求高的平均税率。
依（2.15）和（2.5）得：
（3.9） 由(3.3)，(3.8)，(3.9)可计算出几个变量的方差和协方差如下：
（3.10） 考虑到（2.5）式可得：
（3.11） （3.11）式表明本国资本与本国政府债券的预期报酬率差额与各自收益率波动和货币政策相关。下表，我们利用有关结果讨论宏观政策效应问题。
2、宏观政策效应。
先看货币政策。我们设
，对（2.16）式的有关变量取微分得： 
（3.14） （3.14）中的第一式没有确定性的符号，因它与效用函数的弹性
相关。若
，则
的提高会提高净收入
，这会产生消费中正常的收入与替代效应。如果
，替代效应将占主导，从而利率升高会降低消费—财富比例，而消费—财富比例下降又会又会进一步降低货币与本国政府债券的持有量；如果
，收入效应将占主导，利率升高的部分效应将被抵消，但不会完全消除，但消费者持有的资本份额会上升，因此对长期增长有利；如果
，则效用函数为对数型的，利率升高会降低货币需求，但消费者持有的资本份额会上升，对长期增长有利（这由（3.14）的后两式确定）。所以，如果政府通过利率来调节市场，其效应并非唯一，而与消费者效用函数的弹性
相关。同时，我们又能看到： 
（3.15） 它表明货币增长率提高将会导致本国名义利率、通货膨胀与预期汇率贬值的增长；而本国货币变动的不确定性增加将降低本国名义利率，从而降低经济增长率，这是因为货币增长率的较大方差会增加本国价格水平的方差，从而提高了本国政府债券的收益率，使预期汇率贬值。
再看财政政策。同样对（2.16）式的有关变量取微分得：
（3.16） 财政政策会直接或通过本国利率间接地对经济产生影响。利率、通货膨胀会随政府支出增加而提高；而政府支出的波动增加会提高本国政府债券的收益率，从而提高利率，较高的利率会提高汇率贬值预期。但我们所感兴趣的问题并非国内宏观政策对汇率施加的短期影响，而是一更长期的趋势性问题，即，如果一国的基本经济结构和宏观政策不变，则决定一定时期汇率变动趋势的因素是什么，下面我们用汇率风险升水概念来分析该问题。
四、汇率风险升水与人民币汇率问题
下面，我们采用汇率风险升水概念，利用上面得到的分析结果来讨论人民币汇率变动趋势。采用Engel（1992）的定义，我们用下式定义
期间的实际风险升水： 
（4.1） 条件预期是在时刻
形成的，
是在时刻
形成的对于未来时刻
的远期汇率。依（4.1）式的含义，对外汇风险的一个正的实际风险升水意味着实际汇率的期望值大于远期汇率，这说明汇率有升值预期（本币有贬值预期）。我们用抵补利率平价假设来分析实际风险升水，该假设是外国政府债券的实际报酬率，在外汇风险受到远期汇率的头寸来抵补的条件下，会等于本国债券的利率。其通俗的含义是，如果投资者能通过外汇市场交易外国政府债券，则最终会使国内外债券利率在考虑外汇风险后相同，用公式来表示为： 
（4.2） （4.2）式中
、
分别为本国和外国政府债券的实际利率。依随机微分规则，实际汇率的随机微分为： 
将（2.1）代入上式得：
求上式的期望并整理得：
（4.3） 同理可得：
（4.4） 将（4.4）、（4.3）代入（4.1）得：
（4.5） 将
由（4.2）代替，得到： 
（4.6） 式中，
为国外政府债券的方差。由式（4.6）我们看到一国的汇率升水决定于本国与外国经济的风险大小，直接的来源是如果本国的增长波动率
和政府支出波动率
的增加将提高本国经济的整体风险，从而使汇率升水增加，使本国货币呈现贬值趋势；相反，如果外国经济风险加大，则会降低汇率升水，使本国货币呈现升值趋势。用这种标准来判断汇率走势，虽然只能是定性的，但它与购买力平价标准是相容的并且考虑到了市场对经济的反应，所以它是一种较为合适的汇率波动和趋势判断的方法。 一国的汇率决定和波动方向可由两方面来定，一是用国际收支方法来比较国家间的实际汇率走势；另外是资产市场投资者通过风险比较来确定资产组合从而确定汇率波动方向。而且，现实中的汇率变动更多地由投资者通过风险比较来确定，即，汇率是特定风险资产的价格。考虑市场反应的汇率变动不能简单地由购买力平价、国际收支或利率平价来分析，因为风险评价早已超越了实体经济，而是一个整体市场的风险—收益评价，本文也就是从该处着手的。市场评价方法对现实的适用性表现在，目前世界上的汇率体系分为明显的两大块：一块为实行浮动汇率体制的发达国家汇率体系，该体系使用较简单风险评估方法，主要考虑实体经济的增长风险；另一块是实行政府管制的相对不发达国家汇率体系，虽然该体系成员复杂，但基本特点是经济系统运行并未达到浮动汇率体制的国家的市场化水平，所以市场风险是多方面的，而汇率风险评价则采用综合的市场与非市场因素结合。由此导致的汇率波动的经济含义是不同的，为直观计，我们举例说明如下。
假设美国经济因为长期的贸易赤字和国内庞大的财政赤字，使增长乏力，到了某一阶段，美国同其他国家的现有汇率已无法维持，与投资者的预期相一致，某一天美元大幅贬值，我们来看市场的反应。这时，投资者一般认为汇率波动不会涉及美国的政治经济体制，更不会造成经济的混乱和大幅波动，反过来，投资者会认为因为美元大幅贬值调整了不合理的比价关系，有利于美国国际收支均衡的恢复和长期增长，这会导致投资者更坚决持有美元及美元资产，使资金流入美国，从而使美国经济复苏。这个故事在许多经济发达国家都发生过。
另外，如果印尼盾因为高估或印尼国际收支（或国内财政赤字），使增长乏力，某一天盾要贬值了。这时，投资者的反应是，印尼经济要垮了，印尼政治经济体制可能出现倒退，会造成经济的混乱和大幅波动，外国人的财产没有保障了，从而投资者会争先恐后地逃离印尼，本来应只有3%的印尼盾贬值被市场放大到了30%还没能阻止资本外逃，而且印尼经济也真的垮了。这是一个不久前发生在亚洲和南美洲的真实故事。
上面的假想故事说明了汇率市场评价的独特性质，正如保罗·克鲁格曼所说的：“在预期的范围内，心理因素可以重要到哪怕是投资者的偏见就可以左右实质经济，也就是所谓的‘信则灵’。”但克鲁格曼只是指出了结果，产生该结果的原因则在于对不同国家风险评估的标准不同，对市场经济高度发达的国家，投资者是客观风险评价；对市场经济不发达的国家，投资者是主观风险评价，并且还附加了其它风险升水。所以，试图用统一标准来评估各国的汇率是不符合客观现实的。在现实经济中，发达国家与其它类型国家在经济增长上也确实表现出不同的特征，表1、2和图1、2就显示了两类国家的差异（1991-2000年）（数据来源：《中国统计年鉴》（2002））。
表1 新兴市场和发达国家GNP平均增长率比较（单位%）
| 发达国家 | 美国 | 日本 | 德国 | 英国 | 法国 | 意大利 | 加拿大 | 澳大利亚 | 平均值 |
| 增长率 | 2.93 | 1.25 | 1.91 | 1.99 | 1.87 | 1.44 | 2.52 | 3.45 | 2.2 |
| 新兴市场 | 中国 | 印度 | 巴西 | 墨西哥 | 韩国 | 新加坡 | 印度尼西亚 | 马来西亚 | 4.9 |
| 增长率 | 10.02 | 5.42 | 2.57 | 3.28 | 6.22 | 7.36 | 4.16 | 6.67 | |
| | 菲律宾 | 孟加拉国 | 泰国 | 巴基斯坦 | 缅甸 | 埃及 | 土耳其 | 尼日利亚 | |
| | 2.82 | 4.72 | 4.71 | 4.08 | 6.75 | 3.69 | 3.59 | 2.41 |
表2 世界主要的新兴市场和发达国家GNP平均增长率标准差
| 发达国家 | 美国 | 日本 | 德国 | 英国 | 法国 | 意大利 | 加拿大 | 澳大利亚 | 平均值 |
| 标准差 | 1.77 | 1.82 | 1.30 | 1.92 | 1.49 | 1.20 | 2.00 | 1.85 | 1.67 |
| 新兴市场 | 中国 | 印度 | 巴西 | 墨西哥 | 韩国 | 新加坡 | 印度尼西亚 | 马来西亚 | 3.22 |
| 标准差 | 2.58 | 1.92 | 2.25 | 3.84 | 4.92 | 2.96 | 6.49 | 5.08 | |
| | 菲律宾 | 孟加拉国 | 泰国 | 巴基斯坦 | 缅甸 | 埃及 | 土耳其 | 尼日利亚 | |
| | 2.44 | 0.59 | 6.29 | 1.31 | 2.57 | 2.18 | 4.98 | 1.05 |
我们可以通过图1和图2 更加形象的展示发达国家和新兴市场的经济增长特征的差别
 | |||
 | |||
图1：新兴市场的GNP增长特征图 图2：发达国家的GNP增长特征图
（注：图中的G代表了长期经济增长趋势的斜率，D代表了经济增长波动幅度）。新兴市场的GNP以较高的平均增长速度增长，同时波动较大；发达国家的GNP以较低的平均增长速度增长，同时波动较小，即：Ge>Gd且De>Dd。新兴市场的国民经济以较高的速度和较大的波动增长是新兴市场与发达国家经济增长特征的本质区别。所以，新兴市场经济增长快，但稳定性差，汇率自然有风险升水。
我国也是新兴市场的一员，1991年—2000年GNP的平均增长率为10.02%，增长率的标准差为2.58%，经济增长速度名列第一，经济波动幅度也超过发达国家的平均水平。而且，中国就是一个实行管制汇率和资本管制的发展中国家，所以在国际资本市场上投资者对人民币的汇率也是有风险升水的。其证明就是虽然近20年人民币不断贬值（如图3）（数据来源：中华人民共和国商务部网站），但前几年都有大量资本外逃和对人民币的贬值预期，这与本文理论的结论一致。但是，从去年讨论中国向世界输出通货紧缩始，到今年热炒的人民币升值，与本文理论的结论却是不一致的，是否应收回本文的分析结果，因为它与现实不符。我们认为，人民币升值并不是中国经济的合理反映，而是有关利益集团的口味而已。从现实状况看，人民币升值的原始压力并非来自市场，而是来自有关贸易集团，如日本、欧盟和美国，其后才转向市场导致热钱进入。这时，
图3 人民币汇率（兑美元）变动趋势（1979-2002）
人民币升值的压力与市场投资者的行为并没有直接关联，因为按市场评价标准中国尚未进入发达经济俱乐部，货币没有长期升值预期，短期流入的资金只是套利行为而已。所以，我们前面的理论分析并未失效。
那么来自三个贸易集团的压力究竟是何性质，这需要分别讨论。先看美国，中美贸易摩擦已有多年，关键在于两国的贸易差额，虽然两国统计结果不一样，但都反映出中美贸易长期顺差且不断扩大的趋势，见图4（实线为美国的统计结果，虚线为中国的统计结果）（数据来源：《世界经济年鉴》（2001））。从调整国际收支的角度看，人民币兑美元确有调整的必要。但从美国经济的长期发展看，对外贸易只是美国经济的一小部分，中美贸易是更小的部分，中美贸易差额变动对美国经济的影响力很小，并不会构成美国经济长期发展障碍。所以，人民币汇率调整对美国经济没多大实际影响，来自美国的压力其实更可能是某些利益集团的活动结果，但中美贸易长期而稳定增长的顺差是压力的基础。
图4 中美贸易差额变动趋势（1979-2000）（单位：亿美元）
 |
再看日本和欧盟。图5表明（数据来源：《世界经济年鉴》（2001）），中日的贸易收支基本平衡，所以没有国际收支的贸易压力，他们要求人民币升值是出于其它方面的原因。
图5 中日贸易差额变动趋势（1990-2000）（单位：亿美元）
 |
图6显示（数据来源：《世界经济年鉴》（2001）），中国对欧盟贸易并没有多大的差额，
图6 中国与欧盟贸易差额变动趋势（1990-2000）（单位：亿美元）
但近些年有扩大贸易顺差的趋势，加上欧元近期升值，所以引起了要求人民币升值的压力。
由上面的结果可知，如果单从国际收支的贸易项目看，来自美国的压力是真实的，而日本和欧盟的压力并非真实。众所周知，汇率的决定并非单由国际收支定，除了本文第三部分讨论过的宏观因素外，一国的外贸政策和可贸易品实际生产力的变化也有重要影响。
我们先看中国外贸政策。改革开放以来，中国实行的是出口导向性的外贸政策，其实质是将国内需求不足的供给（甚至压制国内需求）通过外贸来扩大，以保证经济的高速增长和国际收支平衡（早期重国际收支平衡）。该政策实施的结果是通过低价出口换来大量外汇，从图7我们看到，早期的出口是为了保证进口，但上世纪九十年代中期后，出口的目的变成了输出过剩需求，伴随着出口快速增长（图8，数据来源：《中国统计年鉴》（2002））的是外汇结余快速增加（数据来源：中华人民共和国商务部网站）。而维持这一结果的重要支撑政策之一是出口退税，以使出口品成本降低，出口退税的变动如图9所示（数据来源：中华人民共和国商务部网站）。应该说，这套外贸政策及其结果是造成主要外贸国对中国外贸进
 |
图7 中国外汇结余变动（1979-2002）（单位：亿美元）
进批评的根源之一，无论是输出通货紧或要求人民币升值，都与中国大量外汇储备和低价出口政策相关，而历史的经验显示这种带有一定重商主义倾向的外贸政策是引起外贸争端和保护主义盛行的导火索。对于中国这样的崛起中的大国，本国与全球利益均需考虑，平衡国际收支的外贸政策更易得到认同。
图8 1978-2001年中国出口的变动趋势（以美元计价：亿美元）
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图9 中国出口退税额变动（1985-2002）（单位：亿元）
出口品生产力的提高，会导致该国可贸易品价格相对于其他国家类似产品价格下降的重要因素，而且这种价格下跌具有一定的自我强化效应，即：生产力提高—出口价格下跌—出口增加—生产扩大—生产力再提高—出口价格再下跌（Balassa(1964)）。如果一国经济出现了该效应，而又没有相应地开放国内市场以增加进口，则要维持原有汇率体系是不可能的，因为该国确在输出通货紧缩，使其它国家外贸受损。但用该理论来简单套用中国却并不正确，因为中国出口的更多是传统产品，其利润空间很小，商品低价源自劳动力的低成本，故劳动生产率也不可能大幅提高，所以，输出通货紧缩一说并不成立。
五、结论
由前面的分析可得到如下结论：
1、人民币汇率在今后一段时间内并没有可持续的升值预期，这是由中国作为一个新兴国家的地位和汇率风险升水评价所决定的，目前对人民币汇率升值预期不是来自真实的市场压力，而是有关利益集团。
2、对利益集团的反应要客观评价，贸易收支差额是一个基点，但压力来源可能更多地集中于中国的外贸政策，这一点应引起我们政府部门的重视，汇率只是导火索而已。
3、由此引发的一个更深层次的问题是，作为一个不断崛起的大国，以出口为导向来维持经济的长期发展，其可持续性如何，日本已给出了反例，而美国则是一个开放度很低的国家，作为大国倚重外部风险很大。
附录1：
随机微分 本文所分析的随机过程，其涉及的微分和积分规则与非随机情形不同，为了得到随机贝
尔曼（Bellman）动态优化结果，需要一种称为
随机微分的方法（它是
随机积分的连续状态下的结果）。为简化符号，下面仅考虑一维随机过程，我们假设有某一随机过程
遵循如下的随机微分方程： 
（a.1） （a.1）中
是一个维纳(Wiener)过程（或称Brown运动）,为独立且正态分布的随机变量，其均值为0而瞬时方差为
，我们称
为基本随机过程。我们想要解决的问题是，由基本随机过程
形成的随机函数
有什么样的运算规则(设
关于
是二次可微的且关于
连续可微)，我们来求随机微分（利用Taylor展开式）： 
（a.2） 将(a.1)代入(a.2)并化简得:
（a.3） （a.3）就是
随机积分的连续状态下的结果，即
随机微分。 附录2: 随机贝尔曼（Bellman）动态优化
设我们要求如下的随机优化问题：
（a.4） （a.4）中
称为状态变量，
称为控制变量。利用积分变换得： 
（a.5） 将（a.3）中的结果代入（a.5）并经适当变换得：
（a.6） （a.6）式就是随机贝尔曼（Bellman）动态优化方程（
称为微分生成元）。在经济学理论中，需优化的效用函数一般被假设有一个不变的时间贴现率，即：
的形式，则对一时间可分的效用函数其所对应的值函数形于如
。这时可将（a.6）式简化为： 
（a.7） 附录3: 用随机贝尔曼（Bellman）动态优化方法求(2.12)式的优化条件
定义：
，设：
。优化问题是选择
、
、
、
求如下表达式的最大化： 
（a.8） 利用拉格朗日乘子法可求得一阶优化条件：
（a.9） 上述优化条件中人为地引入了
，它与效用函数应满足如下Bellman方程： 
（a.10） 用待定系数法求解（a.10），设
有如下形式的解：
（
为待定系数），可解得：
，
,将该结果代入 （a.10）可解得
，将这些结果代入（a.9）得到如（2.16）的结果。 参考文献
Adler.M and B.Dumas, 1983, "International Portfolio Choice and Corporation Finance: A
Synthesis", Journal of Finance 38: 925-984.
Balassa.B,1964,"The Purchasing Power Parity doctrine: A Reappraisal", Journal of Political Economy 72: 584-596.
Duffie.D, 1996, "Dynamic Asset Pricing Theory", Princeton University Press.
Engel.C.M, 1992,"On the Foreign Exchange Risk Premium in a general Equilibrium Model",
Journal of International Economics 32: 305-319.
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