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第二节 经济持续增长的根源
上述分析有助于我们认清，在当代的经济增长模型中，正的最终产品产出稳态增长率到底从何而来。
经济增长模型中最终产品产出正增长率的根本来源，既不是最终产品生产函数自变量的非竞争性，也不是生产函数的全自变量规模报酬递增，而是产出的流量与作为其自变量的存量之间的特殊关系：在所有的经济增长模型中，最终产品产出都是流量，但它又是用某些存量生产出来、随这些存量的增加而增加的；而这些存量在时间过程中的增量，又可以用这些存量本身生产出来。多数经济增长模型都假设了生产函数是严格正则的，从而忽略了存量物品的折旧问题，这就使自变量物品的存量不会在时间过程中自动减少。这样，自变量物品的存量只能由生产而增加，却不会减少，这就决定了最终产品生产函数的所有自变量都只能增加而不会减少，从而也决定了用这些自变量物品生产的最终产品产出的增长率必然为正。
由于经济增长模型具有这样的数量特征，即使各种自变量物品在使用上不存在非竞争性，即使任何物品的产出都是全自变量规模报酬不变的，只要将这些物品存量的一定比例用于生产这些存量本身，这些物品的存量就会不断增加，而最终产品的产出将会随着这些存量的不断增加而持续增长。
我们可以用一个最简单的经济增长模型来说明这一点：
假定最终产品的产出Y仅仅是用于生产它的某种“物品”存量的产物，而且二者之间的投入产出关系是1比1；还可以用这种投入物品的存量来生产它的增量，而且这个“生产函数”也只有这一个自变量，投入和产出的关系也是1比1。这样，这个经济的这两个生产函数就都是全自变量规模报酬不变的。这种作为投入的存量在使用上不存在非竞争性：用于生产最终产品的那部分投入存量不会影响该存量的增量，用于生产该投入的增量的那部分该投入物品也不影响最终产品产出。以L代表该投入存量的总量，s为该存量用于生产最终产品产出的份额，并令s固定不变，可得该经济的两个生产函数：
（II.5） 由上述两个生产函数可以推得最终产品产出的增长率
（II.5.1） 由投入存量L的生产函数可以得到它的增长率
（II.5.2） 给定该投入存量用于生产最终产品的份额s，该经济的最终产品产出将有一个不变的增长率（稳态增长率）1-s。值得注意的是，随着该投入存量中用于最终产品生产的份额s逐步增加，该经济的稳态增长率将会相应下降。而如果该经济将投入存量（最终产品生产函数的自变量存量）全部用于生产最终产品（s等于1），该经济的增长率及稳态增长率将为0！
从最初的现代经济增长模型出现时起，上述那种存量和流量的关系就存在于经济增长理论中。只不过由于经济增长模型讨论的最终产品生产函数通常都有两个以上的自变量，其中的劳动力增长率又往往被假定为外生给定的，结果是模糊了上述那种存量和流量的关系对模型中的持续经济增长的决定意义。
式（II.5）那样高度简化的分析具有极强的指导意义。我们可以使用这种只有一种投入品的增长模型作进一步的分析，以说明生产函数并非全自变量规模报酬不变时的稳态增长率。
假定在式（II.5）所描述的那种经济中，生产函数变为下边的样子：
（II.6） 由式（II.6）可得最终产品产出的增长率
（II.6.1） 根据式（II.6），用作投入的自变量物品的增长率为
（II.6.2） 当
时，自变量物品L的生产是全自变量规模报酬不变的，当
时L的生产全自变量规模报酬递减，
时则L的生产全自变量规模报酬递增。 由于
始终大于零，s通常也小于1，根据式（II.6）和（II.6.2），用作投入的自变量物品L的增长率通常大于零，而根据式（II.6.1），最终产品产出的增长率也因此大于零。这就印证了命题2中的论点：在严格正则生产函数经济中，最终产品产出和自变量存量的增长率都不可能小于零。 由式（II.6.2）可以推得自变量物品L增长率的增长率为
（II.6.3） 当自变量物品L的生产是全自变量规模报酬不变（
）时，自变量物品的增长率不随时间的流逝而发生变化，根据式（II.6.1），此时最终产品产出的增长率也不变，从而整个经济始终处于平衡增长路径上的稳态。 根据式（II.6.3），该经济处于稳态增长的条件是
（II.6.4） 此时不仅用作投入的自变量物品L的增长率不再变化，根据式（II.6.1）最终产品产出的增长率也不变。
显然，如果自变量物品L的生产不是规模报酬不变的，那就只有当该自变量物品的增长率为零时稳态增长的条件才得到满足。反过来说，自变量物品增长率为零必定是稳态增长条件公式（II.6.4）的一个解，根据式（II.6.1）此时最终产品产出的增长率也为零。这就印证了命题3中的论点：在一个任何物品的折旧率都不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果没有任何一种物品的增长率是外生给定的，则每一种物品的增长率都等于零是该经济稳态增长率的一个解。
根据式（II.6.3），在自变量物品L的增长率大于零的条件下，如果该自变量物品的生产全自变量规模报酬递减（
），则该物品存量的增长率将逐渐降低，根据式（II.6.1）最终产品产出的增长率也必定随之降低。式（II.6.2）也表明了这样一种动态过程：由于
，随着自变量物品L的存量不断增大，其存量的增长率却不断降低。而当该物品存量L趋于无穷大时，该物品存量的增长率降低到零，最终产品产出的增长率也逐步降低到零，整个经济逐步向稳态增长率的零解收敛。 即使最终产品的生产函数有许多个自变量，上述原理也基本适用。本书后面的第三章将详细证明，在最终产品的生产函数有两个以上自变量的情况下，如果所有自变量物品的生产都全自变量规模报酬递减并且没有任何外生给定的增长率，则稳态增长率解只能为零。动态过程分析将会证明，在各种自变量存量的初始状态下，整个经济将逐渐向最终产品和所有自变量物品的增长率都为零的稳态收敛。
而根据式（II.6.3），在自变量物品L的增长率大于零的条件下，如果该自变量物品的生产全自变量规模报酬递增（
），则该物品存量的增长率将越来越高，根据式（II.6.1）最终产品产出的增长率也必定随之不断提高。式（II.6.2）也同样证明了这样一种动态过程：由于
，随着自变量物品L的存量不断增大，其存量的增长率也不断升高。在这种情况下，自变量物品的增长率一旦偏离为零的稳态而大于零，自变量物品存量和最终产品产出都将出现爆炸性增长，整个经济将越来越快地远离为零的稳态增长率，永远不可能再回到稳态上来。 本书的以下各章将讨论有许多种自变量物品的情况。在有些情况下，某些自变量物品的生产全自变量规模报酬递增，而另一些物品的生产则规模报酬递减。第六章将证明，如果某些自变量物品的生产全自变量规模报酬递增而另一些物品的生产报酬递减，则可能所有各种自变量物品的稳态增长率解都大于零；而第四章的推论14则说明，如果所有自变量物品的生产函数都是全自变量规模报酬递增的，又没有任何物品的增长率外生给定，则该经济中各种不同物品的稳态增长率解不可能全都大于零。这些都表明，许多种自变量物品的存在使问题复杂化。
但是本节对只有一种自变量物品的情况的分析仍然有其指导意义。它表明，所有物品的生产都全自变量规模报酬递增的情况是高度不稳定的。一旦自变量物品的增长率偏离了等于零的稳态，整个经济就可能会陷入爆炸性增长。前边的推论2已经指出，任何包含小于零的增长率的增长率解都不可能是在严格正则生产函数经济中实际出现的增长率。在所有自变量物品的生产都是全自变量规模报酬递增的情况下，包含着小于零的增长率的稳态增长率解不会是实际的稳态增长率，而只是表明该经济没有非零的稳态增长率。
第三节 某些物品的增长率外生给定的情况
本节研究的情况是，整个经济中至少有一种物品的增长率是外生给定的，因而这些物品的生产函数具有式（I.5.1）的形式，而其它物品的生产都是全自变量规模报酬不变的。
一、一种物品的增长率外生给定
命题6
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果只有一种物品具有外生给定的增长率m，其它物品的生产都是增长率非外生而全自变量规模报酬不变的，则在增长的稳态下，最终产品生产函数的每一种自变量物品的增长率都等于增长率外生给定物品的增长率m，且最终产品产出的增长率（经济增长率）也等于这一外生给定的增长率m，也即最终产品产出和所有其它物品存量的增长率都等于劳动力的增长率。
证
在这种情况下，可以令其增长率外生给定的物品为“基准物品”（第n种物品）。如果将外生给定的增长率m标为第n种物品的增长率
，稳态增长的条件就可以以齐次线性方程组（I.10.4）来表示，稳态增长率也必定是齐次线性方程组（I.10.4）的解。可是实际上，外生给定的增长率m成了线性方程组中的一个常数项，因而本命题下的稳态增长条件可以表示为式（I.11.7）中的非齐次线性方程组： 
（I.11.7）
但是在数学形式上，线性方程组（I.11.7）几乎与式（II.2）完全一样，唯一的差别只在于：线性方程组（II.2）的等号右边是基准物品的稳态增长率解
乘以列向量
，而在线性方程组（I.11.7）中，等号右边与列向量
相乘的是基准物品外生给定的增长率m。 由于这个原因，线性方程组（I.11.7）等号左边的系数矩阵和等号右边的列向量可以分毫不差地分别以式（II.2.2）和式（II.2.3）表示，而方程组（I.11.7）中等号右边的系数
也象在式（II.2.3）中那样可以表示为
。同样可以将线性方程组（I.11.7）的系数矩阵定义为式（II.2.2）中的矩阵
，并将其化为行列式
。也同样可以为线性方程组（I.11.7）定义出式（II.3.1）那样的行列式
。对于线性方程组（I.11.7）运用线性代数中的克莱姆法则，可以解得在本命题所讨论的情况下第k种物品的稳态增长率为 
（II.7） 式（II.7）等号右边分母中的行列式
与式（II.3）等号右边分母中的行列式
完全一样，式（II.7）等号右边分子中的行列式
也与式（II.3）等号右边分子中的行列式
完全一样。因此这里完全适用本章第一节从式（II.3.1）到式（II.3.3）所作的推导，并因此可以完全照搬这一推导所得出的结论 
（II.7.1） 将式（II.7.1）代入式（II.7），就对任一自变量物品k都有
（II.7.2） 由于在本命题所讨论的情况下，最终产品的生产也是全自变量规模报酬不变的，即
，将式（II.7.2）代入式（I.6.4）可知，这种情况下最终产品产出的稳态增长率 
（II.7.3） 证毕
二、两种或两种以上物品的增长率外生给定
当两种或两种以上物品的增长率外生给定时，可以作出最一般化的概括：如果在n种自变量物品中，有m种物品的增长率外生给定，则可以将这m种物品的序号顺次标为
，它们的外生给定的增长率分别为
。在这种情况下，稳态增长的条件可以表为第一章中的式（I.11.1），该式本来用于表示在另一种情况下的稳态增长条件，在那种情况下，没有外生给定增长率而稳态增长条件齐次线性方程组的系数矩阵的秩为n - m，其中
。将那种情况下的稳态增长条件照搬到这里，是因为这两种不同情况下的稳态增长条件在数学形式上是一样的。 这样，当n种自变量物品中有m种物品的增长率外生给定时，稳态增长条件可以表示为，前n - m种物品的增长率满足线性方程组
（II.8）
上述线性方程组与式（I.11.1）的唯一不同之处在于等号右边的增长率
的含义：在式（I.11.1）中，
是自由未知量，原则上可以取任何实数值，而在式（II.8）中，每一个
都是外生给定的常数。为了便于从形式上区分，我们将方程组（II.8）中各方程等号右边的外生给定增长率一般化地标为
，而将等号左边的未知增长率一般化地标为
。 线性方程组（II.8）的系数矩阵为
其中
（II.8.1）
定义
为矩阵
的第k个列向量，
为矩阵
的行列式。 在线性方程组（II.8）中每一个方程等号右边都有同一组外生给定的增长率，定义外生给定增长率中的
前边的系数
构成一个列向量 
（II.8.2） 它是一个n - m 维的列向量。根据式（II.8.2），线性方程组（II.8）中各方程等号右边的常数项构成一个列向量
（II.8.3） 定义行列式
为以式（II.8.3）中的列向量替换矩阵
中的第k列所构成的行列式，行列式
为以列向量
替换矩阵
中的第k列所构成的行列式。这样，行列式
的第k列就是以m组数的和为分量构成的向量，其中的第i组恰好是行列式
的第k列乘以
。根据行列式的性质，这意味着行列式
是m项之和，在这m项中，任意一个第i项都必定是相应的行列式
与相应的增长率
之积： 
（II.8.4） 此外，以系数矩阵
的第s列
来替换矩阵
中的第k列，可以构造出行列式
。总共可以这样构造出n - m个不同的行列式
，但是在这n - m个不同的行列式
中，第k个必然与行列式
完全相同，而其它的n -m - 1个行列式的第k列却必定等于该行列式的另外某一列，因而根据行列式的性质这n -m - 1个行列式都必定等于零。这样，就有 
（II.8.5） 在上述公式和定义的基础上，可以证明下述命题：
命题7
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果有两种或两种以上物品具有外生给定的增长率，其它物品存量的增长率都是非外生的，则在增长的稳态下，任何增长率非外生的自变量物品及最终产品产出的增长率都是各种外生给定增长率的加权平均数，第i种外生给定增长率在决定第k种物品稳态增长率时的权重等于
。如果该经济中所有物品的生产都全自变量规模报酬不变，则各外生给定增长率在决定任何增长率非外生的自变量物品k的稳态增长率时权重之和都为1，即对任何物品k都有
。 证
根据线性代数中的克莱姆法则，如果线性方程组（II.8）有唯一解，则在此解中，第k种增长率待定的物品的稳态增长率必为
（II.9） 将式（II.8.4）代入上式，就得
（II.9.1） 如果该经济中所有物品的生产都全自变量规模报酬不变，则对任何物品k都有
。其原因在于： 根据对式（I.3.3）的分析，对任何“全自变量规模报酬不变”的物品j，都有
；这意味着，如果线性方程组（II.8）中的那n - m 种物品的生产都是全自变量规模报酬不变的，则对其中的任一方程（标为第j个方程），都必有 
（II.10） 这样，线性方程组（II.8）中任一第j个方程等号右边的任一项的系数
都可以化为 
（II.10.1）
每个方程等号右边都有这样的m个系数乘以相应的外生给定增长率的负数
。 由于
只是m个
中的一个，我们可以相应地将式（II.8.2）中的列向量
标为
，并据此构造出行列式
。实际上，
只是列向量
的另一种标法，而行列式
也只是行列式
的另一种标法而已。 根据式（II.10.1），如果线性方程组（II.8）中的那n - m 种物品的生产都是全自变量规模报酬不变的，则对任何列向量
都恒有 
（II.10.2） 将上式中等号右边的向量
乘以
后得
，用它替换行列式
中第k列的
，可得行列式
的另一种表达。根据行列式的性质，行列式
的这另一种表达等于另外n - 1个行列式之和，其中的每个行列式都只有第k列与行列式
不同；前n - m个行列式的第k列由与序列号s相对应的列向量
变换而成，因而它们正是式（II.8.4）下边所论述的那n - m个不同的行列式
，而后m - 1个行列式的第k列由与序列号i（但
）相对应的列向量
变换而成，因而它们也正是式（II.8.3）下边所定义的行列式
乘以
，只是不包括行列式
本身。这样，行列式
就可以表示为 
（II.10.3） 根据行列式
的定义，行列式
只是当i取值为h时的
，而式（II.10.3）等号右边的
中则不包括行列式
。因此，包括了行列式
的
应当等于式（II.10.3）中的行列式
与
之和。而根据式（II.8.5）则有
。因此式（II.10.3）可以变换为 
（II.10.4） 将式（II.10.4）等号的两边都除以
，可知当所有增长率非外生给定的物品生产都全自变量规模报酬不变时，对任何物品k都有 
（II.10.5） 证毕
由命题7可知，当所有增长率非外生给定的物品生产都全自变量规模报酬不变时，每一个增长率非外生给定物品的稳态增长率
都真正是各外生给定增长率
的加权平均数，因为在决定每个
的公式中，所有
前面的系数
之和都为1。由此可得 推论7
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果有两种或两种以上物品具有外生给定的增长率，其它物品存量的增长率都是非外生的，所有增长率非外生物品的生产都全自变量规模报酬不变，且行列式
大于零，所有的行列式
都不小于零，则在增长的稳态下，任何增长率非外生的自变量物品及最终产品产出的增长率都不可能高于所有的外生给定增长率。 例子7：与新古典增长模型相比较
在索洛最初建立的新古典经济增长模型（Solow, 1956）中，实际上只有最终产品—物质资本的增长率不是外生给定的。从生产函数的自变量数目的角度看，索洛分析了最终产品的两种生产函数：一种生产函数只有物质资本和劳动两个自变量，另一种生产函数则有技术、物质资本和劳动三种自变量。在第一种情况下，劳动的增长率n被看作外生给定的常数，而在第二种情况下，技术存量的增长率g与劳动增长率n一样被看作是外生给定的。
当索洛以两个自变量的最终产品生产函数为基础进行讨论时，他研究了这种生产函数的柯布－道格拉斯函数形式（Solow, 1956, Example 2）：
（例7.1） 式中的Y为最终产品产出，K为物质资本存量，L为劳动。索洛证明，在给定的储蓄率s下，这种情况下最终产品产出和物质资本存量的稳态增长率都等于外生给定的劳动增长率n。注意：这一结论是在唯一的生产函数（最终产品的生产函数）全自变量规模报酬不变的前提下得出的，这直接证明了本书的命题6。
当索洛讨论“中性技术变化”时，他实际上列出的是三个自变量的柯布－道格拉斯最终产品生产函数
（例7.2） 上式中的
可以理解为t时的技术水平。索洛证明，这种情况下最终产品产出和物质资本存量的稳态增长率都等于
。 更简单的一种新古典经济增长模型（Romer, David，1996）假定最终产品的生产函数为
（例7.3） 由这个生产函数所推得的最终产品产出和物质资本存量的稳态增长率都为
。 （例7.2）和（例7.3）这两种情况下的两个稳态增长率（
和
）表明，只要外生给定的劳动力增长率n和技术存量增长率g都大于零，这两种情况下最终产品产出和物质资本存量的稳态增长率就都会大于任何一种外生给定的增长率（n或g）。根据推论7，这是由于在这两种情况下最终产品的生产函数全自变量规模报酬递增：在式（例7.2）中，因子A的指数为1，K的指数为a，L的指数为
，因而
；而在式（例7.3）中，因子A和L的指数都为
，K的指数为a，因而
。 为了证明上述论点，假定最终产品的生产函数是全自变量规模报酬不变的：
（例7.4） 仍然将技术存量的增长率g与劳动增长率n看作是外生给定的，且给定储蓄率s不变，按照第一章第三节第四小节的推导程序，可以推得物质资本存量的稳态增长率
必须满足条件 
（例7.4.1） 由于
，
。由此解得物质资本存量的稳态增长率 
（例7.4.2） 最终产品产出的稳态增长率也如式（例7.4.2）所示。显然只要g、n、a和c都大于零，最终产品产出和物质资本存量的稳态增长率就不可能大于所有的外生给定增长率（g和n）。正如命题7和推论7所说，生产函数都是全自变量规模报酬不变时，每一个增长率非外生给定物品的稳态增长率都真正是各外生给定增长率的加权平均数，在其中各外生给定增长率的权数
之和等于1（
）。当g、n、a和c都大于零时，最终产品产出和物质资本存量的稳态增长率都只能处于外生给定的增长率g和n之间，不可能比二者都高。 ※ ※ ※
以下各章将讨论更加复杂的情况，即至少有一种物品的生产不是全自变量规模报酬不变的。
第三章 没有报酬递增物品的情况
在本章所研究的稳态增长条件下，任何物品的生产都不是全自变量规模报酬递增的，并且至少有一种物品的生产是全自变量规模报酬递减的。任何物品的生产都报酬不递增的情况本来也包括了所有物品的生产都全自变量规模报酬不变的情况，但是由于第二章已经详细讨论了所有物品生产都规模报酬不变的情况，本章的讨论就只限于至少有一种物品的生产规模报酬递减的情况。
对于这种讨论，正则生产函数中稳态增长条件下第i种物品对第j种物品生产的贡献率
为我们提供了极好的测度手段。根据式（I.3.3），任何物品j生产上的全自变量规模报酬都可以表示为 
（III.1） 相应地，我们还可以用
度量第j种物品生产中“全自变量规模报酬递增的程度”。
为零时物品j的生产中全自变量规模报酬不变，
小于零时物品j的生产规模报酬递减，
大于零时物品j的生产规模报酬递增。 在本章所讨论的情况下，“没有任何物品的生产全自变量规模报酬递增”意味着对任何物品j都恒有
；“至少有一种物品的生产全自变量规模报酬递减”意味着至少存在着某种物品k，对该物品有
。 在这种情况下，如果没有任何物品的增长率外生给定，则各种物品的稳态增长率解将如第一章中的命题3和命题4所描述的那样。不过由于至少有一种物品的生产不是全自变量规模报酬不变的，第二章中的命题5和命题6在这里并不适用。
第一节 报酬不递增物品稳态增长的前提
在本章所讨论的情况下，对稳态增长的分析以下列命题为出发点：
命题8
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，任一全自变量规模报酬不递增物品k的稳态增长率具有非零解的一个必要前提是，它在稳态增长时的生产上使用的物品中至少存在另一种物品i，它与k相比，稳态增长率的解正负号相同，且绝对值不更小；特别地，这种经济中任一规模报酬递减物品k的稳态增长率具有非零解的一个必要前提是，它在稳态增长时的生产上使用的物品中至少存在另一种物品i，它与k相比，稳态增长率的解正负号相同，且绝对值更大。
证
物品k的稳态增长率可能有两种非零的解：一种解大于零，另一种解小于零。但是根据式（I.10.3），无论在哪种情况下，物品k的稳态增长率解都必须服从下列公式：
而由于物品k的生产是全自变量规模报酬不递增的，上式中的
。如果物品k的生产是全自变量规模报酬递减的，则
。 1. 当物品k的稳态增长率解大于零时
根据式（I.10.3），物品k稳态增长率的解必须满足条件
。在物品k的生产全自变量规模报酬不递增的情况下，由于上式中的
，且
，因此必有
。这样，如果除k以外其它物品的稳态增长率解
都小于
，则必有
，从而使
，式（I.10.3）中的稳态增长条件无法成立。这样，要保证式（I.10.3）中的稳态增长条件成立，除k以外的其它物品中必须至少有一个物品i在稳态增长率解上不小于k，而由于k的稳态增长率解大于零，i在稳态增长率解的绝对值上必须至少不小于k。这意味着，报酬不递增物品k稳态增长率的解大于零的一个必要条件是至少存在某一物品i，其稳态增长率解的至少不小于k的稳态增长率解。 如果物品k的生产是全自变量规模报酬递减的，就会有
。在这种情况下，由于
，必有
。如果除k以外其它物品的稳态增长率数学解
都不大于
，则必有
，从而使式（I.10.3）中的稳态增长条件无法成立。这样，要保证式（I.10.3）中的稳态增长条件成立，除k以外的其它物品中必须至少有一个物品i在稳态增长率解上大于k，而由于k的稳态增长率解大于零，i在稳态增长率解的绝对值上必须大于k。这意味着，报酬递减物品k稳态增长率解大于零的一个必要条件是至少存在某一物品i，其稳态增长率的解大于k的稳态增长率解。 2. 当物品k的稳态增长率解小于零时
同样根据式（I.10.3）所规定的稳态增长条件进行分析：由于全自变量规模报酬不递增决定了对于物品k有
，而在这里的情况下
，因此必有
。这样，如果除k以外其它物品的稳态增长率解
都大于
，则必有
，从而使
，式（I.10.3）中的稳态增长条件无法成立。这样，要保证式（I.10.3）中的稳态增长条件成立，除k以外的其它物品中必须至少有一个物品i在稳态增长率解上不大于k，而由于k的稳态增长率解小于零，i的稳态增长率解就必须为负数，且其绝对值必须至少不小于k的绝对值。这意味着，报酬不递增物品k稳态增长率的解小于零的一个必要条件是至少存在某一物品i，其稳态增长率的解为负且在绝对值上至少不小于k的稳态增长率解。 如果物品k的生产是全自变量规模报酬递减的，就会有
。在这种情况下，由于
，必有
。如果除k以外其它物品的稳态增长率解
都不小于
，则必有
，从而使式（I.10.3）中的稳态增长条件无法成立。这样，要保证式（I.10.3）中的稳态增长条件成立，除k以外的其它物品中必须至少有一个物品i在稳态增长率解上小于k，而由于k的稳态增长率解小于零，i的稳态增长率解就必须小于零且绝对值大于k的稳态增长率解绝对值。这意味着，报酬递减物品k稳态增长率的解小于零的一个必要条件是至少存在某一物品i，其稳态增长率的解也小于零且绝对值大于k的稳态增长率解绝对值。 证毕。
由命题8可以自然地得出
推论8
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，任一全自变量规模报酬不递增物品k的稳态增长率具有大于零的解的一个必要前提是，它在稳态增长时的生产上使用的物品中，至少存在另一种物品i，它有不比k低的稳态增长率（正的）解；特别地，这种经济中任一全自变量规模报酬递减物品k的稳态增长率具有大于零的解的一个必要前提是，它在稳态增长时的生产上使用的物品中，至少存在另一种物品i，它有比k更高的稳态增长率（正的）解。
由命题8我们可以很容易地领会到，为什么在所有物品的生产都报酬不变时它们的稳态增长率解都彼此相等。所有物品的生产都报酬不变是任何物品生产都报酬不递增的一个特例，这时由于没有生产上报酬递减的物品，并不要求任何物品的稳态增长率解必须在绝对值上高于其它物品。在这种情况下，要满足报酬不递增物品的稳态增长率具有非零解的前提条件，使对每一个这种物品都至少有另一种物品与它稳态增长率的解正负号相同且绝对值不更小，最可靠的解法就是所有物品的稳态增长率解都彼此相等。
但是，一旦某经济系统中有至少一种物品的生产是全自变量规模报酬递减的，命题8中的前提条件就对该经济中各种物品生产函数的结构提出了进一步的要求。
命题9
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果任一全自变量规模报酬递减物品k的稳态增长率具有非零的解，则至少会存在一种全自变量规模报酬不递减的物品h，它在稳态增长率解上与k的正负号相同，且对任何属于集合K的物品i，恒有物品h的稳态增长率解绝对值
，这里的集合K是集合M的子集，集合M是所有全自变量规模报酬递减物品的集合，K则是M中所有与物品k在稳态增长率的解上有相同正负号的物品的集合；也即全自变量规模报酬不递减的物品h与k有相同的稳态增长率解正负号，且在稳态增长率解的绝对值上大于任何与物品k有相同的稳态增长率解正负号的报酬递减物品。 证
报酬递减物品k的稳态增长率可能有两种非零的解：一种解大于零，另一种解小于零。
1. 要使报酬递减物品k的稳态增长率解大于零，就必须至少存在一种全自变量规模报酬不递减的物品，它的稳态增长率解大于任何报酬递减物品的（为正的）稳态增长率解。
根据命题8，报酬递减物品k稳态增长率的解大于零的一个必要前提是至少存在某一物品i，其稳态增长率的解大于k的稳态增长率解。
但是如果这一物品i也在生产上全自变量规模报酬递减，命题8就也同样适用于物品i：物品i稳态增长率解大于零的一个必要前提是至少存在某一物品，其稳态增长率的解为正且大于i的稳态增长率解。如此递推下去，由于该经济中的物品种类数有限，最终必定会递推到有最高的正增长率的报酬递减物品n。命题8当然也同样适用于报酬递减物品n：物品n稳态增长率解大于零的一个必要前提也是至少存在另一物品，其稳态增长率的解大于n的稳态增长率解。但是因为n是有最高稳态增长率解的报酬递减物品，不可能有任何报酬递减物品在稳态增长率解上高于它。与物品n相比有更大的（正的）稳态增长率解的物品如果存在，就只能是一种在生产上全自变量规模报酬不递减的物品。
2. 要使报酬递减物品k的稳态增长率解小于零，就必须至少存在一种全自变量规模报酬不递减的物品，它的稳态增长率解为负且在绝对值上大于任何稳态增长率解为负的报酬递减物品。
根据命题8，报酬递减物品k稳态增长率的解小于零的一个必要前提是至少存在某一物品i，其稳态增长率的解也小于零且绝对值大于k的稳态增长率解绝对值。
但是如果这一物品i也是生产上全自变量规模报酬递减的，命题8就也同样适用于物品i：物品i稳态增长率解小于零的一个必要前提是至少存在某一物品，其稳态增长率的解也为负且在绝对值上大于i的为负数的稳态增长率解绝对值。如此递推下去，由于该经济中的物品种类数有限，最终必定会递推到某种报酬递减物品n，它在所有稳态增长率解为负的报酬递减物品中，有绝对值最大的负的稳态增长率解。命题8当然也同样适用于报酬递减物品n：物品n稳态增长率解小于零的一个必要条件也是至少存在另一物品，其稳态增长率解也小于零且绝对值大于n的稳态增长率解绝对值。但是因为在所有稳态增长率解为负的报酬递减物品中，物品n有绝对值最大的负的稳态增长率解，不可能有任何报酬递减物品的小于零的稳态增长率解在绝对值上大于它。稳态增长率解为负数的、与物品n相比有更大绝对值的物品如果存在，就只能是一种在生产上全自变量规模报酬不递减的物品。
证毕
由本命题可以自然地推出下列两个推论：
推论9
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果任一报酬递减物品k的稳态增长率解大于零，就必定至少存在一种全自变量规模报酬不递减的物品，它的稳态增长率解大于任何报酬递减物品的（为正的）稳态增长率解。
推论9.1
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果任何一种物品的稳态增长率解都为正，则所有生产上全自变量规模报酬递减的物品的稳态增长率都会至少小于某个物品的增长率，该物品在生产中并非全自变量规模报酬递减。
第二节 只有报酬递减物品的情况
命题9已经暗示，如果一个经济中的所有物品都在生产上规模报酬递减，则该经济不会有非零的稳态增长率解。
命题10
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果所有自变量物品的生产函数都是全自变量规模报酬递减的，又没有任何物品的增长率外生给定，则该经济的稳态增长率没有非零的解。
证
本命题其实是命题9的一个几乎是自然而然的推论：由于没有任何物品的生产函数全自变量规模报酬不递减，就不可能有任何物品是全自变量规模报酬不递减的；而如果没有任何物品是全自变量规模报酬不递减的，命题9所陈述的任一报酬递减物品具有非零的稳态增长率解的前提条件就不存在。根据命题9，至少存在一种全自变量规模报酬不递减的物品，它与报酬递减物品有相同的稳态增长率解正负号且在稳态增长率解的绝对值上大于任何有相同的稳态增长率解正负号的报酬递减物品，这是任何一种报酬递减物品有非零的稳态增长率解的前提条件。如果没有任何物品的生产是全自变量规模报酬不递减的，这个前提条件就不存在。由于不存在规模报酬不递减的物品，任一规模报酬递减物品都不可能有非零的稳态增长率解。这意味着这样一个所有物品的生产都全自变量规模报酬递减的经济中没有稳态增长率的非零解。
这里我们还可以按照命题8到本命题的论证线索，以更加形式化的推导来论证本命题。
根据第一章第四节的式（I.11.5）和（I.11.6），如果一个经济中没有任何物品的增长率外生给定而有物品有非零的稳态增长率解，则齐次线性方程组（I.10.4）系数矩阵的第n个列向量可以由其它n - 1个列向量线性表出。在这种情况下，齐次线性方程组（I.10.4）系数矩阵中的任一第j行的各项都必服从数量关系
（I.11.5） 而齐次线性方程组（I.10.4）系数矩阵第n行的各项则必须服从数量关系
（I.11.6） 在以上两式中，系数
就是以第n种物品为“基准物品”所得出的前n - 1种物品的标准化稳态增长率，而基准物品的系数
则为1。这两个公式分别表明了相应物品的稳态增长条件。 在本命题所讨论的情况下，所有物品生产都全自变量规模报酬递减意味着对任何物品j，都有
。在这种情况下，对第n种物品来说，如果任何其它物品的标准化稳态增长率
都不大于1，则必有 
此时式（I.11.6）中表示的物品n的稳态增长条件无法成立。因此，满足物品n的稳态增长条件的前提，是至少存在一个物品j，它的标准化稳态增长率
大于1。 但是，由于物品j的生产也全自变量规模报酬递减，如果任何其它物品的标准化稳态增长率
都不大于
，则必有 
此时式（I.11.5）中表示的物品j的稳态增长条件无法成立。因此，满足物品j的稳态增长条件的前提，是至少存在一个物品k，它的标准化稳态增长率大于物品j的标准化稳态增长率。
可是，由于物品k的生产也全自变量规模报酬递减，前边对物品j的稳态增长条件所作的分析就也适用于物品k。这意味着满足物品k的稳态增长条件的前提，是至少存在另一个物品，它的标准化稳态增长率大于物品k的标准化稳态增长率。如此递推下去，由于该经济中只有n种物品，我们总可以找到有最高的标准化稳态增长率的物品h。
而由于物品h的生产也全自变量规模报酬递减，前边对物品j的稳态增长条件所作的分析就也适用于物品h。这意味着满足物品h的稳态增长条件的前提，是至少存在另一个物品，它的标准化稳态增长率大于物品h的标准化稳态增长率。但是，由于物品h已经具有最高的标准化稳态增长率，不可能再有任何物品有更高的标准化稳态增长率，式（I.11.5）中那样的稳态增长条件对物品h来说无法满足。而这就意味着不可能找到一组系数
，以便用齐次线性方程组（I.10.4）系数矩阵的前n - 1个列向量线性表出其第n个列向量。在这种情况下，齐次线性方程组（I.10.4）没有非零解，该经济中的各种物品都没有非零的稳态增长率解。 证毕
既然当所有物品都全自变量规模报酬递减时，任何物品的稳态增长率解都既不可能为正，也不可能为负，就更不可能有所有各种物品的增长率都为正或都为负。由此产生了
推论10
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果所有自变量物品的生产函数都是全自变量规模报酬递减的，又没有任何物品的增长率外生给定，则该经济各种物品的稳态增长率解既不可能全部为正，也不可能全部为负；特别地，在这样一个经济中不可能各种物品的稳态增长率解都大于零。
第三节 不同物品稳态增长率解的相互关系
如果所有物品在生产上都全自变量规模报酬不递增，这些物品的稳态增长率解之间将具有某些特定的关系。
一、相同正负号定理
命题11
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，并且所有物品的生产都是全自变量规模报酬不递增的，没有外生给定的增长率，或者只有一种物品有外生给定的增长率，其它物品的生产都是全自变量规模报酬不递增的，则当任何物品有非零的稳态增长率解时，其它所有物品的稳态增长率解的正负号都不会与该物品稳态增长率解的正负号相反。
证
在本命题所研究的情况下，由于除增长率外生给定的物品之外其它所有物品的生产都不是全自变量规模报酬递增，所以对增长率非外生给定的任何物品j，都有
（III.2） 对于本命题的证明来说，重要的是不同物品的稳态增长率解是否有相反的正负号，而不是哪一种物品的稳态增长率解为正，哪一种物品的稳态增长率解为负。
在各种物品有非零的稳态增长率解的条件下，只要不同物品的稳态增长率解有相反的正负号，就必定会有某些物品的稳态增长率解大于零，另外一些物品的稳态增长率解小于零。这里我们只需证明，在本命题所说的前提条件下，只要有一种物品的稳态增长率解大于零，其它物品的稳态增长率解就不可能小于零，而如果有一种物品的稳态增长率解小于零，其它物品的稳态增长率解就不可能大于零。
1.如果有某一物品的稳态增长率解为正，该经济中就不可能有任何物品的稳态增长率解为负
这里所假设的具有的正的稳态增长率解的那种物品，可以是那种具有外生给定增长率的物品，它的外生给定的增长率是正的；但是这里的讨论也包括了任何物品都没有外生给定增长率的情况，这时我们在讨论中假设至少仍有某一物品的稳态增长率解为正。
假设在某一物品的稳态增长率解为正时，仍然会有至少一种物品的稳态增长率解为负。我们可以从这些稳态增长率解为负的物品中任选一物品k，而根据假设，在除物品k以外的那其它n - 1种物品中，至少有一种物品的稳态增长率解为正。
根据本命题的前提条件，这些稳态增长率解为负的物品在生产上也都是全自变量规模报酬不递增的，即满足式（III.2）。根据式（I.10.3），物品k的稳态增长率解必满足稳态增长条件
（III.2.1） 由于
且
，有
。由于在除物品k以外的物品中至少有一种物品稳态增长率解为正，因此，如果在除物品k之外的所有n-1种物品中，没有任何物品的稳态增长率解为负且在绝对值上大于物品k，则必有 
在这种情况下，等式（III.2.1）中的那种稳态增长条件无法成立。要使等式（III.2.1）中的那种稳态增长条件成立，就必须在除物品k之外的那些物品中至少有某个物品i，它的稳态增长率解也为负且在绝对值上大于
。 但是由于物品i的生产也是全自变量规模报酬不递增的，而且在它的生产中也使用稳态增长率解为正的物品，对物品k适用的原理也就同样适用于物品i：要使物品i的稳态增长条件成立，还必须在物品k和i之外存在着另一种物品，其稳态增长率解也为负且在绝对值上大于物品k和i。依此递推，即使该经济的n个物品除了一个有正的稳态增长率解之外都有负的稳态增长率解，由于该经济中的物品数目有限，我们最终必定会找到一种物品h，其稳态增长率解
为负且在各种物品的所有的负的稳态增长率解中有最大绝对值。
作为稳态增长率解，其数值也必须满足条件 
（III.2.2） 但是，在本命题所讨论的情况下，物品h的生产也是全自变量规模报酬不递增的（即
），而且在它的生产中也使用稳态增长率解为正的物品，因此如果它的稳态增长率解为负，对物品k适用的原理就也同样适用于物品h：就象在讨论物品k的情况时论述过的那样，如果没有一种物品的稳态增长率解为负且在绝对值上大于物品h，就必定会有 
这样就无法满足式（III.2.2）的稳态增长条件。而由于
在各种物品的所有的负的稳态增长率解中有最大绝对值，在我们现在所讨论的情况下，不可能再有某种物品的稳态增长率解为负且在绝对值上大于物品h，因此物品h的稳态增长条件不可能成立。由此逆推到最初讨论的物品k就可以知道，在我们讨论的情况下，物品k的稳态增长率解如果小于零，物品k的稳态增长条件成立的前提就是物品h的稳态增长条件成立；由于物品h的稳态增长条件不成立，物品k的稳态增长条件也就不成立。这样，在本命题所讨论的经济中，只要有一种物品的稳态增长率解（哪怕是外生给定的增长率）大于零，任何物品的稳态增长率解就都不可能为负。 2.如果有某一物品的稳态增长率解为负，该经济中就不可能有任何物品的稳态增长率解为正。
这里所假设的具有负的稳态增长率解的那种物品，可以是那种具有外生给定增长率的物品，它的外生给定的增长率是负的；但是这里的讨论也包括了任何物品都没有外生给定增长率的情况，这时我们在讨论中假设至少仍有某一物品的稳态增长率解为负。
假设在某一物品的稳态增长率解为负时，仍然会有至少一种物品的稳态增长率解为正。我们可以从这些稳态增长率解为正的物品中任选一物品k，而根据假设，在除物品k以外的那其它n - 1种物品中，至少有一种物品的稳态增长率解为负。
根据本命题的前提条件，这些稳态增长率解为正的物品在生产上也都是全自变量规模报酬不递增的，即满足式（III.2）。根据式（I.10.3），物品k的稳态增长率解必满足稳态增长条件
（III.2.3） 由于
且
，有
。由于在除物品k以外的物品中至少有一种物品稳态增长率解为负，因此，如果在除物品k之外的所有n-1种物品中，没有任何物品的稳态增长率解为正且在绝对值上大于物品k，则必有 
在这种情况下，等式（III.2.3）中的那种稳态增长条件无法成立。要使等式（III.2.3）中的那种稳态增长条件成立，就必须在除物品k之外的那些物品中至少有某个物品i，它的稳态增长率解也为正且在绝对值上大于
。 但是由于物品i的生产也是全自变量规模报酬不递增的，而且在它的生产中也使用稳态增长率解为负的物品，对物品k适用的原理也就同样适用于物品i：要使物品i的稳态增长条件成立，还必须在物品k和i之外存在着另一种物品，其稳态增长率解也为正且在绝对值上大于物品k和i。依此递推，即使该经济的n个物品除了一个有负的稳态增长率解之外都有正的稳态增长率解，由于该经济中的物品数目有限，我们最终必定会找到一种物品h，其稳态增长率解
为正且在各种物品的所有的正的稳态增长率解中有最大绝对值。
作为稳态增长率解，其数值也必须满足条件 
（III.2.4） 但是，在本命题所讨论的情况下，物品h的生产也是全自变量规模报酬不递增的（即
），而且在它的生产中也使用稳态增长率解为负的物品，因此如果它的稳态增长率解为正，对物品k适用的原理就也同样适用于物品h：就象在讨论物品k的情况时论述过的那样，如果没有一种物品的稳态增长率解为正且在绝对值上大于物品h，就必定会有 
这样就无法满足式（III.2.4）的稳态增长条件。而由于
在各种物品的所有的正的稳态增长率解中有最大绝对值，在我们现在所讨论的情况下，不可能再有某种物品的稳态增长率解为正且在绝对值上大于物品h，因此物品h的稳态增长条件不可能成立。由此逆推到最初讨论的物品k就可以知道，在我们讨论的情况下，物品k的稳态增长率解如果大于零，物品k的稳态增长条件成立的前提就是物品h的稳态增长条件成立；由于物品h的稳态增长条件不成立，物品k的稳态增长条件也就不成立。这样，在本命题所讨论的经济中，只要有一种物品的稳态增长率解（哪怕是外生给定的增长率）小于零，任何物品的稳态增长率解就都不可能为正。 证毕 本命题假定所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，是因为可能出现这样一种情况：整个经济中的物品至少分为两组，A组的物品根本不参加B组物品的生产，B组的物品也根本不参加A组物品的生产。在这样一种情况下，即使任何物品的生产都报酬不递增，也可能会出现这样的结果：A组物品有大于零的稳态增长率解，而B组物品则有小于零的稳态增长率解。
第二章的命题5和命题6所讨论的情况，是整个经济中至多只有一种物品的增长率外生给定，其它物品的生产都是全自变量规模报酬不变的。这两个命题所讨论的情况都包含于本命题所讨论的情况之中，可以把这两个命题看成是本命题的一种特例。
由本命题可以直接得出许多推论，它们各自陈述了本命题的一些特例。
推论11.1
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，并且所有物品的生产都是全自变量规模报酬不递增的，且至少有一种物品的生产全自变量规模报酬递减，而且没有外生给定的增长率；或者至多只有一种物品有外生给定的增长率，其它所有物品的生产都是全自变量规模报酬递减的；或者至多只有一种物品有外生给定的增长率，且至少有一种物品的生产全自变量规模报酬递减，其它所有物品的生产都是全自变量规模报酬不变的；则当任何物品有非零的稳态增长率解时，其它所有物品的稳态增长率解的正负号都不会与该物品稳态增长率解的正负号相反。
推论11.2
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，并且只有一种物品有外生给定的增长率，其它物品的生产都是全自变量规模报酬不递增的，则任何一种物品的稳态增长率解的正负号都不可能与外生给定的增长率的正负号相反。
推论11.3
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，并且所有物品的生产都是全自变量规模报酬不递增的，没有外生给定的增长率，则当任一物品的稳态增长率解大于零时，其它任何物品的稳态增长率解都不可能小于零。
推论11.4
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，至多只有一种物品有外生给定的增长率，则当不同物品的稳态增长率解有不同的正负号时，该经济中至少有一种物品的生产是全自变量规模报酬递增的。
推论11.11
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，并且所有物品的生产都是全自变量规模报酬不递增的，且至少有一种物品的生产全自变量规模报酬递减，而且没有外生给定的增长率；或者至多只有一种物品有外生给定的增长率，其它所有物品的生产都是全自变量规模报酬递减的；或者至多只有一种物品有外生给定的增长率，且至少有一种物品的生产全自变量规模报酬递减，其它所有物品的生产都是全自变量规模报酬不变的；则当任何物品的稳态增长率解大于零时，其它任何物品的稳态增长率解都不可能小于零。
推论11.21
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，并且只有一种物品有外生给定的增长率，其它物品的生产都是全自变量规模报酬不递增的，则当外生给定的增长率大于零时，任何一种物品的稳态增长率解都不可能小于零。
二、数值排序定理
如果任何物品的生产都不是全自变量规模报酬递增的，而且至少有一种物品的生产全自变量规模报酬递减，则当某些物品的稳态增长率解不等于零时，各种不同物品的稳态增长率解在数值大小上会呈现出某种规则性。
命题12
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果至多只有一种物品有外生给定的增长率，所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，所有物品的生产都是全自变量规模报酬不递增的，且至少有一种物品的生产全自变量规模报酬递减，则只有在至少一种物品有非零的外生给定增长率时，才会有某些物品有非零的稳态增长率解；而当任何物品有非零的稳态增长率解时，不同物品非零的稳态增长率解有相同的正负号，且规模报酬不变物品将比报酬递减物品有更高的稳态增长率解绝对值，外生给定增长率的绝对值大于任何物品稳态增长率解的绝对值。
证
根据命题11，在本命题所讨论的情况下，如果某些物品有非零的稳态增长率解，它们不会有相反的正负号。因此这里我们只需讨论各种物品的稳态增长率解都不小于零或都不大于零的情况。
对于这种情况，使用标准化的稳态增长率来分析是最方便的。在有某种物品的增长率外生给定时，令该种物品为基准物品，而在没有外生给定的增长率时，任选一种稳态增长率解非零的物品作基准物品（第n种物品）。以基准物品的稳态增长率解为分母，依据式（I.11.2）可以求出每个非基准物品的标准化稳态增长率解
。按定义，基准物品的标准化稳态增长率解为1。如果情况象本命题所陈述的那样，任何物品在稳态增长率解上都不会有与基准物品不同的正负号，则任何物品的标准化稳态增长率
就都不会小于零。这时，各种不同物品的稳态增长率解会都不小于零还是都不大于零，就取决于基准物品本身的稳态增长率解是大于零还是小于零。 在这样定义的标准化稳态增长率下，如果证明了在本命题所讨论的情况下，规模报酬不变物品比报酬递减物品有更高的标准化稳态增长率，标准化的外生给定增长率（按我们的标准化程序它恒为1）又高于报酬不变物品的标准化稳态增长率，就证明了本命题的核心陈述：规模报酬不变物品将比报酬递减物品有更高的稳态增长率解绝对值，外生给定增长率的绝对值大于任何物品稳态增长率解的绝对值。
在本命题所述的这样一种经济中，物品的生产函数可以分为两种，一种是全自变量规模报酬不变的，另一种则是全自变量规模报酬递减的。在增长的稳态下，可以区分出3类物品：一类物品的增长率是外生给定的，第二类在生产上是全自变量规模报酬不变的，第三类则在生产上全自变量规模报酬递减。
以下的论证讨论三种情况：在一种情况下，该经济具有这全部3类物品；在另一种情况下，该经济只包括后两类物品；在第三种情况下，该经济只包括第一类和第三类物品。只有外生给定增长率和报酬不变物品的情况，以及只有报酬不变物品的情况，都不在本命题讨论的范围之内；第二章已经对这些情况作了详细的探讨。只有报酬递减物品的情况本来属于本命题讨论的范围，但是命题10已经讨论了这种情况，该命题已经印证了本命题。
根据命题11，在本命题所讨论的情况下，如果某些物品有非零的稳态增长率解，它们不会有相反的正负号，因而任何物品的标准化稳态增长率都不会小于零。而根据命题9，如果有任何全自变量规模报酬递减物品的稳态增长率有非零的解，则所有报酬递减物品在有相同正负号的稳态增长率解的绝对值上都会至少小于某个规模报酬不递减的物品，该物品与这些报酬递减物品有相同的稳态增长率解正负号。这意味着在本命题所讨论的经济中，任何报酬递减物品有非零的标准化稳态增长率的前提条件是，所有生产上全自变量规模报酬递减的物品在标准化稳态增长率上都会至少小于某个规模报酬不递减的物品。而在本命题所讨论的情况下，这种规模报酬不递减的物品如果不在生产上是全自变量规模报酬不变的，就是具有外生给定的增长率。
1. 如果没有外生给定的增长率，则本命题所说的经济中不存在非零的稳态增长率解
在这种情况下，在标准化稳态增长率上大于所有报酬递减物品的只能是在生产上全自变量规模报酬不变的物品。假设物品j是这样的一个规模报酬不变物品，根据式（I.11.3），在增长的稳态下，物品j的标准化稳态增长率必满足下列公式：
（III.3.1） 但是由于报酬递减物品也参加物品j的生产，上式中的某些
是报酬递减物品的标准化稳态增长率，根据假设，它们小于物品j的标准化稳态增长率
。如果没有任何物品的标准化稳态增长率大于
，则必有
。这就使式（III.3.1）中的稳态增长条件无法成立。这样，报酬不变物品j在标准化稳态增长率上大于任何报酬递减物品的前提，是存在另一个报酬非递减物品k，它有比物品j更高的标准化稳态增长率。 但是在我们这里讨论的情况下，物品k也只能是一种在生产上全自变量规模报酬不变的物品。前边对物品j所作的分析也完全适用于物品k：物品k在标准化稳态增长率上大于报酬递减物品以及物品j的前提，是存在另一种报酬非递减物品，它有比物品k更高的标准化稳态增长率。按照这同样的逻辑递推下去，由于物品的种类数有限，最后我们必定会找到一种有最高标准化稳态增长率的物品h。在我们这里讨论的情况下，物品h也只能是一种规模报酬不变物品，前边对物品j所作的分析也完全适用于物品h：物品h在标准化稳态增长率上大于其它报酬不变物品和所有报酬递减物品的前提，是存在另一种物品，它有比物品h更高的标准化稳态增长率。
而在这里所讨论的情况下，不可能存在这样一种物品，因为物品h已经具有最高的标准化稳态增长率。这就使物品h的稳态增长条件无法成立。这样，就不可能存在这样一种有高于其它一切物品的标准化稳态增长率的物品，而这种物品的存在，却是各种报酬不变物品在标准化稳态增长率上高于所有报酬递减物品的前提，最终也是任何报酬递减物品的稳态增长率有非零解的前提。由于不存在这样一种有高于其它一切物品的标准化稳态增长率的物品，任何报酬不变物品在标准化稳态增长率上都不可能高于所有报酬递减物品，任何报酬递减物品的稳态增长率也就不可能有非零的解，不仅任何报酬递减物品的稳态增长率解只能为零，而且连报酬不变物品的稳态增长率解也只能为零。
以上的讨论已经说明了前边所说的本命题讨论中要涉及的第二种情况，即只有报酬不变和报酬递减两类物品的情况。回答很清楚：在这种情况下，不存在非零的稳态增长率解。
2. 如果有一种物品的增长率外生给定，则标准化的外生给定增长率高于任何物品的标准化稳态增长率
这里讨论的情况包含了前边所说的本命题讨论中要涉及的第一种和第三种情况：在第一种情况下，经济中同时具有增长率外生给定的、生产上报酬不变的和报酬递减的这3类物品；在第三种情况下，该经济中只有增长率外生给定的和报酬递减的两类物品。
前边的分析已经指出，根据命题9和命题11，在本命题所讨论的经济中，任何报酬递减物品有非零的标准化稳态增长率的前提条件是，所有生产上全自变量规模报酬递减的物品在标准化稳态增长率上都会至少小于某个规模报酬不递减的物品。本命题又规定了整个经济中至多只有一种物品的增长率是外生给定的。这就决定了在第三种情况下，由于只有增长率外生给定的和报酬递减的两类物品，那种外生给定的增长率只要不为零，标准化的外生给定增长率就必定大于任何报酬递减物品的标准化稳态增长率。这既是第三种情况下任何报酬递减物品有非零的稳态增长率的必要条件，又是它的充分条件。
对于前边所说的本命题讨论中要涉及的第一种情况也适用同样的原理。在这种情况下，同时存在着增长率外生给定的、生产上报酬不变的和报酬递减的这3类物品。根据前边的分析，在本命题所说的情况下，任何报酬递减物品的稳态增长率有非零解的前提是，所有生产上全自变量规模报酬递减的物品在标准化稳态增长率上都会至少小于某个报酬不递减的物品；而如果这种报酬不递减的物品是生产上全自变量规模报酬不变的，则它在标准化稳态增长率上高于任何报酬递减物品的前提，又是存在着一种物品，它在标准化稳态增长率上高于一切报酬不变物品。当某种物品的增长率外生给定时，这种外生给定的增长率就起着这种标准化稳态增长率最高的物品的作用，在本命题讨论的情况下，也只有外生给定的增长率能够起这个作用。这样，标准化的外生给定增长率高于所有报酬不变和报酬递减物品的标准化稳态增长率，这是任何报酬递减或报酬不变物品的稳态增长率有非零的解的必要条件。
上述分析的过程已经显示出稳态增长率有非零的解时的一种数量顺序：外生给定的增长率在标准化稳态增长率上高于一切报酬不变物品，而各种报酬不变物品又在标准化稳态增长率上至少高于某些报酬递减物品。这就形成了一种“标准化稳态增长率排序”。
在本命题所讨论的情况下，这种标准化稳态增长率排序是增长率非外生物品的稳态增长率有非零解的必要条件。其原因在于：根据前边的分析，在本命题所说的情况下，任何报酬递减物品的稳态增长率有非零解的前提是，所有生产上全自变量规模报酬递减的物品在标准化稳态增长率上都会至少小于某个报酬不递减的物品；这首先意味着当任一报酬递减物品的稳态增长率解非零时，任何报酬递减物品都不可能具有整个经济中最高的标准化稳态增长率，某种报酬递减物品却可以具有整个经济中最低的标准化稳态增长率；其次这意味着当任一报酬递减物品的稳态增长率解非零时，整个经济中各种不同物品的标准化稳态增长率不会都彼此相等。
但是在本命题所讨论情况下，这些标准化稳态增长率互不相等的物品都加入报酬不变物品的生产。这意味着在任一报酬不变物品j的稳态增长条件
中，必有某些
不等于
。而报酬不变物品的
，决定了要不破坏上述的稳态增长条件，当任一
大于
时必须至少有另一
小于
，当任一
小于
时必须至少有另一
大于
，以维持稳态增长的等式成立。这就意味着，当标准化稳态增长率互不相等的物品都加入报酬不变物品的生产时，任一报酬不变物品的标准化稳态增长率都既不可能在所有物品中最高，也不可能在所有物品中最低。 这样，在本命题所说的情况下，就只有外生给定的增长率可以具有在所有物品中最高的非零的标准化稳态增长率，也只有某种报酬递减物品可以具有在所有物品中最低的非零的标准化稳态增长率，而报酬不变物品则必须在非零的标准化稳态增长率上处于最高和最低的中间。
证毕
这里还可以再给出一个形式化的证明，以说明在本命题所说的经济中，任何报酬不变物品的标准化稳态增长率都不可能高于基准物品的标准化外生给定增长率1：
如果某物品h在生产上全自变量规模报酬不变，又具有高于基准物品外生给定增长率的增长率（按我们的标准化定义，即
），则必有 
而根据式（III.3.1），物品h的稳态增长条件为
比较上边两式可知，只有当除基准物品n和物品h之外的那n-2种物品中的至少某一物品在标准化稳态增长率上高于物品h，式（III.3.1）中物品h的稳态增长条件才能成立。
但是，如果存在这一物品，则根据我们的假设，其稳态增长率必高于基准物品标准化的外生给定增长率，因而这种物品不可能是基准物品n；如果这种物品在生产中全自变量规模报酬递减，则根据前边的分析，在本命题所说的情况下，它有非零的标准化稳态增长率的前提是，所有生产上全自变量规模报酬递减的物品在标准化稳态增长率上都会至少小于某个报酬不递减的物品，因而这种报酬递减物品必须在标准化稳态增长率上至少小于某个报酬不递减的物品。而在本命题讨论的情况下，报酬不递减而又增长率非外生给定的物品只能是在生产上全自变量规模报酬不变的。这样，在本命题讨论的情况下，报酬不变物品h在标准化稳态增长率上高于基准物品n的前提就是，存在着另一种报酬不变物品k，它在标准化稳态增长率上高于物品h。
但是上边对物品h所作的分析又可以对物品k重演一遍，其结论只能是：要保证物品k在标准化稳态增长率上高于物品h，就还需要另一种标准化稳态增长率比物品k还高的报酬不变物品。如此推演下去，由于该经济中物品数目有限，最终必可以找到一种标准化稳态增长率最高的报酬不变物品d。而对该物品的标准化稳态增长率来说必有
但是在这种情况下，标准化稳态增长率最高的报酬不变物品d的稳态增长条件无法成立，因此不可能存在这样一种标准化稳态增长率最高的报酬不变物品d。而根据我们的推导，这样一种标准化稳态增长率最高的报酬不变物品d的存在又是任一报酬不变物品h标准化稳态增长率高于标准化外生给定增长率的前提。由于在本命题所说的情况下，不存在这样一种标准化稳态增长率最高的报酬不变物品d，任一报酬不变物品h的标准化稳态增长率都不可能高于基准物品的标准化外生给定增长率。
进一步可以证明，在本命题所说的那种经济中，任何报酬不变物品的标准化稳态增长率都不可能等于基准物品的标准化外生给定增长率：
假设不是如此，有一个报酬不变物品j的标准化稳态增长率等于标准化外生给定增长率，也即
。根据式（III.3.1），物品j的标准化稳态增长率必须满足稳态增长条件
。但是在本命题所讨论的情况下，这个稳态增长条件中的那n个标准化稳态增长率
只能包括一个标准化外生给定增长率
，n - 1个报酬不变和报酬递减物品的标准化稳态增长率。 根据前边所作的证明，在本命题所说的经济中，任何报酬不变物品的标准化稳态增长率都不可能高于基准物品的标准化外生给定增长率，也即如果物品i为报酬不变物品的话，就恒有
。 由于有至少一种物品在生产上是全自变量规模报酬递减的，所有物品又都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，在式（III.3.1）的稳态增长条件等式中，就会至少有一个
是报酬递减物品的标准化稳态增长率。但是根据前边的分析，任何报酬递减物品有非零的标准化稳态增长率的前提是，所有生产上全自变量规模报酬递减的物品在标准化稳态增长率上都会至少小于某个报酬不递减的物品。在本命题所说的情况下，这种报酬不递减的物品只能是报酬不变的或增长率外生给定的物品，而任何报酬不变物品的标准化稳态增长率都不会高于标准化外生给定增长率，因而标准化外生给定增长率必定高于任何报酬递减物品的标准化外生给定增长率。这意味着如果物品i为报酬递减物品的话，就必有
。 但是这样一来，在n个物品的标准化稳态增长率
中，就没有任何一个大于1，而至少有一个小于1，物品j的报酬不变性质又决定了
。如果这个报酬不变物品j的标准化稳态增长率等于标准化外生给定的增长率1，我们将有
，式（III.3.1）中的稳态增长条件将无法得到满足。因此任何报酬不变物品的标准化稳态增长率都不可能等于基准物品的标准化外生给定增长率。 上述两个证明合起来也说明了，在本命题所说的情况下，报酬不变物品与所有非基准物品一样，其标准化的稳态增长率都必定小于基准物品的标准化外生给定增长率。
由本命题可以直接得出下列推论：
推论12
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，所有物品的生产都是全自变量规模报酬不递增的，且至少有一种物品生产的全自变量规模报酬递减，没有任何物品的增长率外生给定，则该经济不存在非零的稳态增长率解，也即不存在非零的稳态增长率。
推论12.1
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果至多只有一种物品有外生给定的增长率，所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，所有物品的生产都是全自变量规模报酬不递增的，且至少有一种物品生产的全自变量规模报酬递减，则只有在至少一种物品有正的外生给定增长率时，才会有某些物品有大于零的稳态增长率解；而当外生给定的增长率大于零时，其它物品非零的稳态增长率解也都大于零，且规模报酬不变物品将比报酬递减物品有更高的稳态增长率，外生给定增长率又大于任何物品的稳态增长率。
推论12.2
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果只有一种物品有外生给定的增长率，其它所有物品的生产都全自变量规模报酬递减，所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，则只有在外生给定增长率不等于零时，其它物品才会有非零的稳态增长率解，此时其它物品的稳态增长率解与外生给定增长率有相同的正负号且在绝对值上小于外生给定增长率。
推论12.21
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果只有一种物品有外生给定的增长率，其它所有物品的生产都全自变量规模报酬递减，所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，则只有在外生给定增长率大于零时，其它物品才会有大于零的稳态增长率解，此时其它物品的稳态增长率解小于外生给定增长率。
注意：如果不是所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，命题12及其各推论中的论点不一定成立。
后面的命题23中讨论了有“无外来投入的规模报酬不变系统”的情况。在这种情况下，即使没有外生给定的增长率，一个没有报酬递增物品的经济中也可能有非零的稳态增长率解，其原因就在于这个经济中的报酬递减物品并不参与报酬不变物品的生产。
此外，还可能出现下述情况：整个经济中的各种不同物品分为AB两组，A组物品不参与B组物品的生产，并有一种物品有非零的外生给定增长率，B组物品也不参与A组物品的生产，没有外生给定的增长率。除了增长率外生给定的物品之外，其它所有物品的生产都全自变量规模报酬不递增，且每组物品中都至少有一种物品报酬递减。在这种情况下，A组物品有非零的稳态增长率解，B组物品的稳态增长率解只有零解，两组物品的稳态增长率解正负号不同，而且A组的报酬递减物品可能在稳态增长率解的绝对值上大于B组的报酬不变物品。这种情况并没有违反本命题，因为在这种情况下，并不是所有的物品都参与了除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产。
例子12.1：外生给定增长率、报酬不变和报酬递减物品
某经济的最终产品生产函数是全自变量规模报酬不变的：
，其中
为第i种自变量物品用于生产第j种物品的份额，K为物质资本的存量。自变量物品A的生产函数是全自变量规模报酬递减的：
，而自变量物品L的增长率外生给定。各种物品都没有折旧。 按照本书第一章所说明的运算程序，我们可以解出最终产品及3种自变量物品的稳态增长条件，并且定义物品L为基准物品，将其外生给定的增长率标准化为1，将物品K和最终产品的标准化稳态增长率标为k，记物品A的标准化稳态增长率为a。由此可知在增长的稳态下，物品K和物品A的标准化稳态增长率必定是下述联立方程组的解：
（例12.1） 解此方程组，得报酬不变物品K的标准化稳态增长率为
，报酬递减物品A的标准化稳态增长率为
。正如命题12所说，这里的报酬不变物品和报酬递减物品的标准化稳态增长率都低于标准化的外生给定增长率（这里等于1），而且报酬递减物品在标准化稳态增长率上低于报酬不变物品。 例子12.2：外生给定增长率与报酬递减物品
某经济的最终产品生产函数是全自变量规模报酬递减的：
，其中
为第i种自变量物品用于生产第j种物品的份额，K为物质资本的存量。自变量物品A的生产函数也是全自变量规模报酬递减的：
，而自变量物品L的增长率外生给定。各种物品都没有折旧。 按照本书第一章所说明的运算程序，我们可以解出最终产品及3种自变量物品的稳态增长条件，并且定义物品L为基准物品，将其外生给定的增长率标准化为1，将物品K和最终产品的标准化稳态增长率标为k，记物品A的标准化稳态增长率为a。由此可知在增长的稳态下，物品K和物品A的标准化稳态增长率必定是下述联立方程组的解：
（例12.2） 解此方程组，得报酬递减物品K的标准化稳态增长率为
，报酬递减物品A的标准化稳态增长率为
。正如推论12.2所说，这里所有报酬递减物品的标准化稳态增长率都低于标准化的外生给定增长率（这里等于1）。 第四章 所有物品的生产都报酬递增的情况
在本章所研究的稳态增长条件下，除了至多有一种物品的增长率外生给定之外，其它所有物品的生产都是全自变量规模报酬递增的。
式（III.1）中的方程
及其以下的定义已经为本章讨论的范围提供了极好的测度手段：可以把增长率外生给定的那种物品规定为“基准物品”——第n种物品；除了增长率外生给定的物品之外“所有物品的生产全自变量规模报酬递增”意味着，除了有外生给定增长率时的第n种物品之外，对任何物品j都恒有
。本章的讨论将证明，如果所有物品的生产都全自变量规模报酬递增并且没有外生给定的增长率，则各种物品的稳态增长率可能有非零的解，但是既不可能所有物品的稳态增长率解都大于零，也不可能所有物品的稳态增长率解都小于零。 第一节 报酬递增物品稳态增长的前提
本节所讨论的稳态增长的前提，适用于任何报酬递增物品。即便是在这种报酬递增物品所处的经济中有许多物品的生产并非全自变量规模报酬递增，本节所述命题仍然成立。
命题13
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，任一生产上全自变量规模报酬递增物品k的稳态增长率具有非零解的一个必要前提，是它在稳态增长下的生产上使用的物品中，至少存在另一种物品i，其稳态增长率的解或者与k的稳态增长率解正负号不同，或者虽然与k的稳态增长率解有相同的正负号，但是在绝对值上比它小。
证
报酬递增物品k非零的稳态增长率解可以分为大于零的和小于零的两种。这里分别就这两种不同情况来证明本命题。
1. 若报酬递增物品k的稳态增长率解大于零
根据式（I.10.3），本命题所讨论情况下物品k的稳态增长率解必须满足条件
。但是由于这里的物品k的生产函数是全自变量规模报酬递增的，因此对于物品k又有
。在这种情况下，由于
，必有
。如果其它物品的稳态增长率解
都不小于
，也即如果其它物品的稳态增长率解都大于零且在绝对值上都不小于
，则必有
，式（I.10.3）中的稳态增长条件因此而无法成立。因此，要想使式（I.10.3）中的稳态增长条件成立，就必须至少有另外某一个物品i的稳态增长率解小于
。满足这一要求的稳态增长率解
可以等于零、小于零，也可以大于零但是在绝对值上小于
。也即报酬递增物品k的稳态增长率解大于零的一个必要前提是至少存在某一物品i，其稳态增长率的解不大于零或者虽然大于零而在绝对值上小于物品k的稳态增长率解。 2. 若报酬递增物品k的稳态增长率解小于零
根据式（I.10.3），本命题所讨论情况下物品k的稳态增长率解必须满足条件
。但是由于这里的物品k的生产函数是全自变量规模报酬递增的，因此对于物品k又有
。在这种情况下，由于
，必有
。如果其它物品的稳态增长率解
都不大于
，也即如果其它物品的稳态增长率解都小于零且在绝对值上都不小于
，则必有
，式（I.10.3）中的稳态增长条件因此而无法成立。因此，要想使式（I.10.3）中的稳态增长条件成立，就必须至少有另外某一个物品i的稳态增长率解大于
。满足这一要求的稳态增长率解
可以大于零、等于零，也可以小于零但是在绝对值上小于
。也即报酬递增物品k的稳态增长率解小于零的一个必要前提是至少存在某一物品i，其稳态增长率的解不小于零或者虽小于零而在绝对值上小于物品k的稳态增长率解。 证毕
由本命题及其证明过程可以直接得出下列推论：
推论13
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，任一生产上全自变量规模报酬递增物品k的稳态增长率解大于零的一个必要前提，是它在稳态增长下的生产上使用的物品中，至少存在另一种物品i，其稳态增长率的解或者小于零，或者虽然大于零但是小于物品k的稳态增长率解。
由命题13又可以推导出报酬递增物品稳态增长的下述前提条件：
命题14
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，任一生产上全自变量规模报酬递增物品k的稳态增长率具有非零解的一个必要前提，是该经济在稳态增长下至少存在下述两种物品中的一种：一种物品在稳态增长率解上与物品k的正负号不同，这种物品可以是规模报酬递增的；另一种物品h是规模报酬不递增的，它在稳态增长率解上与k的正负号相同，且对任何属于集合K的物品i，恒有物品h的稳态增长率解绝对值
，这里的集合K是集合M的子集，集合M是所有规模报酬递增物品的集合，K则是M中所有与物品k在稳态增长率的解上有相同正负号的物品的集合。 证
报酬递增物品k非零的稳态增长率解可以分为大于零的和小于零的两种。这里分别就这两种不同情况来证明本命题。
1. 若报酬递增物品k的稳态增长率解大于零
根据命题13，报酬递增物品k的稳态增长率解大于零的一个必要前提是至少存在某一物品i，其稳态增长率的解不大于零或者虽然大于零而在绝对值上小于物品k的稳态增长率解。
由于命题13适用于一切稳态增长率解大于零的报酬递增物品，该经济中的物品数目又有限，就可以在稳态增长率解大于零的报酬递增物品中找到稳态增长率解最小的物品g，并对它也运用命题13。根据命题13，报酬递增物品g的稳态增长率解大于零的一个必要前提也是至少存在另一物品h，其稳态增长率的解不大于零或者虽然大于零而在绝对值上小于物品g的稳态增长率解。
如果物品h的稳态增长率解大于零，它就不仅必须在稳态增长率解的绝对值上小于物品g，而且也不可能是报酬递增物品，因为物品g已经是稳态增长率解大于零的报酬递增物品中稳态增长率解绝对值最低的，稳态增长率解为正且在绝对值上小于物品g的物品不可能是报酬递增的。
由于物品g是稳态增长率解大于零的报酬递增物品中稳态增长率解最小的，稳态增长率解为正且在绝对值上小于物品g的报酬不递增物品h，在稳态增长率解上必小于任何稳态增长率解大于零的报酬递增物品。
根据前边定义，物品h要么稳态增长率解为正但在其绝对值上小于物品g，要么就稳态增长率的解不大于零；又由于物品g已经是稳态增长率解为正的报酬递增物品中稳态增长率解绝对值最低的，如果物品h在生产上全自变量规模报酬递增，其稳态增长率解就不可能为正且在绝对值上小于物品g。由于这个原因，如果物品h在生产上是全自变量规模报酬递增的，它的稳态增长率解就不可能大于零。
但是物品h的存在又是任一报酬递增物品稳态增长率解大于零的前提。由此可知，如果一个经济中所有物品的生产函数都是全自变量规模报酬递增的，又没有任何物品的增长率外生给定，则该经济中各种不同物品稳态增长率的解不可能全都大于零。
2. 若报酬递增物品k的稳态增长率解小于零
根据命题13，报酬递增物品k的稳态增长率解小于零的一个必要前提是至少存在某一物品i，其稳态增长率的解不小于零或者虽小于零而在绝对值上小于物品k的稳态增长率解。
由于命题13适用于一切稳态增长率解小于零的报酬递增物品，该经济中的物品数目又有限，就可以在稳态增长率解小于零的报酬递增物品中找到稳态增长率解绝对值最低的物品g，并对它也运用命题13。根据命题13，报酬递增物品g的稳态增长率解小于零的一个必要前提也是至少存在另一物品h，其稳态增长率的解不小于零或者虽然小于零而在绝对值上小于物品g的稳态增长率解。
如果物品h的稳态增长率解小于零，它就不仅必须在稳态增长率解的绝对值上小于物品g，而且也不可能是报酬递增物品，因为物品g已经是稳态增长率解小于零的报酬递增物品中稳态增长率解绝对值最低的，稳态增长率解为负且在绝对值上小于物品g的物品不可能是报酬递增的。
由于物品g是稳态增长率解小于零的报酬递增物品中稳态增长率解绝对值最低的，稳态增长率解为负且在绝对值上小于物品g的报酬不递增物品h，在稳态增长率解绝对值上必小于任何稳态增长率解为负的报酬递增物品。
根据前边定义，物品h要么稳态增长率解为负但在其绝对值上小于物品g，要么就稳态增长率的解不小于零；又由于物品g已经是稳态增长率解为负的报酬递增物品中稳态增长率解绝对值最低的，如果物品h在生产上全自变量规模报酬递增，其稳态增长率解就不可能为负且在绝对值上小于物品g。由于这个原因，如果物品h在生产上是全自变量规模报酬递增的，它的稳态增长率解就不可能小于零。
但是物品h的存在又是任一报酬递增物品稳态增长率解小于零的前提。由此可知，如果一个经济中所有物品的生产函数都是全自变量规模报酬递增的，又没有任何物品的增长率外生给定，则该经济中各种不同物品稳态增长率的解不可能全都小于零。
证毕
第二节 只有报酬递增物品的情况
由命题14的上述证明过程和该命题本身可以清楚地看出，只要任何报酬递增物品的稳态增长率有非零的解，要想使所有物品的稳态增长率解有相同的正负号，就必须至少有一种物品在生产上全自变量规模报酬不递增；只有当各种不同物品非零的稳态增长率解有不同的正负号时，才可能是所有物品都在生产上全自变量规模报酬递增。由此可以得出
推论14
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果所有自变量物品的生产函数都是全自变量规模报酬递增的，又没有任何物品的增长率外生给定，则该经济中各种不同物品稳态增长率的解既不可能全部为正，也不可能全部为负。
注意：在本推论所说的前提条件下，不同物品稳态增长率的解虽然不会全大于零或全小于零，但是仍然可能有非零的解。当所有物品的生产都是全自变量规模报酬递增时，稳态增长率还可能有一种非零的解：某些物品的稳态增长率解大于零，而另一些物品的稳态增长率解则小于零。对命题14的证明过程已经表明，当所有物品的生产都是全自变量规模报酬递增时，要满足稳态增长的条件，一方面要有某些物品的稳态增长率解比最低的正的稳态增长率解还小，另一方面又要有某些物品的稳态增长率解比最大的负的稳态增长率解还大。如果某些物品的稳态增长率解大于零，而另一些物品的稳态增长率解小于零，就可以同时满足这两方面的要求。于是有
推论14.1
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果所有自变量物品的生产函数都是全自变量规模报酬递增的，又没有任何物品的增长率外生给定，则当该经济有非零的稳态增长率解时，各种不同物品的稳态增长率解必定有的大于零，有的小于零。
这里我们还可以按照从命题13到命题14的论证线索，以更加形式化的推导来论证命题14和推论14.1。
根据第一章第四节的式（I.11.5）和（I.11.6），如果一个经济中没有任何物品的增长率外生给定而有物品有非零的稳态增长率解，则齐次线性方程组（I.10.4）系数矩阵的第n个列向量可以由其它n - 1个列向量线性表出。在这种情况下，齐次线性方程组（I.10.4）系数矩阵中的任一第j行的各项都必服从数量关系
（I.11.5） 而齐次线性方程组（I.10.4）系数矩阵第n行的各项则必须服从数量关系
（I.11.6） 在以上两式中，系数
就是以第n种物品为“基准物品”所得出的前n - 1种物品的标准化稳态增长率，而基准物品的系数
则为1。这两个公式分别表明了相应物品的稳态增长条件。 在本命题所讨论的情况下，所有物品生产都全自变量规模报酬递增意味着对任何物品j，都有
。在这种情况下，对第n种物品来说，如果任何其它物品的标准化稳态增长率
都不小于1，则必有 
此时式（I.11.6）中表示的物品n的稳态增长条件无法成立。因此，满足物品n的稳态增长条件的前提，是至少存在一个物品j，它的标准化稳态增长率
小于1。 如果这个小于1的
小于零，则推论14中的论点已经得证，因为这时各种不同物品的稳态增长率解已经既不可能全部为正，也不可能全部为负。因此，以下所作的推论中仍然假设，那些小于基准物品标准化稳态增长率的标准化稳态增长率虽然小于1，但是仍然大于零。 根据前边的假设，那种标准化稳态增长率小于1的物品j的生产也全自变量规模报酬递增，且
。如果任何其它物品的标准化稳态增长率
都不小于
，则必有 
此时式（I.11.5）中表示的物品j的稳态增长条件无法成立。因此，满足物品j的稳态增长条件的前提，是至少存在一个物品k，它的标准化稳态增长率小于物品j的标准化稳态增长率。
可是，由于物品k的生产也全自变量规模报酬递增，前边对物品j的稳态增长条件所作的分析就也适用于物品k。这意味着满足物品k的稳态增长条件的前提，是至少存在另一个物品，它的标准化稳态增长率小于物品k的标准化稳态增长率。如此递推下去，由于该经济中只有n种物品，我们总可以找到在这个只有报酬递增物品的经济中有最小的标准化稳态增长率的物品h。
如果物品h的生产也全自变量规模报酬递增且其标准化稳态增长率大于零，则前边对物品j的稳态增长条件所作的分析就也适用于物品h。此时满足物品h的稳态增长条件的前提，是至少存在另一个物品，它的标准化稳态增长率小于物品h的标准化稳态增长率。但是，由于物品h已经在所有报酬递增物品中具有最小的正数标准化稳态增长率，不可能再有任何报酬递增物品有比它更低的大于零的标准化稳态增长率，式（I.11.5）中那样的稳态增长条件
对物品h来说无法满足。 这就意味着，如果整个经济中所有物品的生产都全自变量规模报酬递增且没有外生给定的增长率，就不可能找到一组全部大于零的系数
，以便用齐次线性方程组（I.10.4）系数矩阵的前n - 1个列向量线性表出其第n个列向量。在这种情况下，齐次线性方程组（I.10.4）没有各分量全部为正的非零解，该经济中的各种物品不可能都有大于零的稳态增长率。 如果在这样一个经济中存在着规模报酬递减的物品，使得对标准化稳态增长率最低的物品h来说有
，那就可以有
。这时虽然有
，物品h的稳态增长条件
仍然可能得到满足。在这种情况下，标准化稳态增长率最低的物品h仍然可以有一个大于零的标准化稳态增长率。这意味着如果一个经济同时具有报酬递增和报酬递减物品，则即使没有外生给定的正增长率，该经济中所有物品的稳态增长率解仍然可以都大于零或都小于零。 即使一个经济中只有全自变量规模报酬递增的物品，如果其标准化稳态增长率最低的物品h的标准化稳态增长率小于零，则仍然会有
。这时虽然有
，物品h的稳态增长条件
仍然可能得到满足。在这种情况下，这个只有报酬递增物品的经济虽然没有外生给定的增长率，但是各种物品仍然可以有非零的稳态增长率解，只是不同物品的稳态增长率解必定是有的大于零，有的小于零。 以上的最后两段论述已经证明了命题14的正确，同时也对推论14.1作了论证。
例子14：只有报酬递增物品
某经济的最终产品生产函数是全自变量规模报酬递增的：
，其中
为第i种自变量物品用于生产第j种物品的份额，K为物质资本的存量。自变量物品A、H和L的生产函数也是全自变量规模报酬递增的：
，
，
。各种物品都没有折旧。 按照本书第一章所说明的运算程序，我们可以解出最终产品及4种自变量物品的稳态增长条件，并且定义物品L为基准物品，将其非零的稳态增长率解标准化为
，将物品K和最终产品的标准化稳态增长率标为k，记物品A的标准化稳态增长率为a，物品H的标准化稳态增长率为h。由此可知在增长的稳态下，物品A、K、H和L的标准化稳态增长率必定是下述联立方程组的解： 
（例14） 按定义，物品L的标准化稳态增长率为
。在此基础上解此齐次线性方程组，得物品A、K、H的标准化稳态增长率
，
，
。正如推论14.1所说，由于所有4种自变量物品的生产函数都是全自变量规模报酬递增的，它们非零的稳态增长率解只能有的大于零，有的小于零。 命题2已经说明，在任何一个严格正则生产函数经济中，任何物品都不可能有小于零的增长率。第一章第四节的第三小节据此指出，对于齐次线性方程组（I.10.4）中的稳态增长条件来说，某些物品可能有小于零的“稳态增长率解”，但是这些小于零的解不可能是严格正则生产函数经济的真正增长率，从而也不可能是它的稳态增长率。这个论点正好可以运用到只有报酬递增物品的情况下：既然在这种情况下，稳态增长率的非零解中必定有某些物品有小于零的增长率，这种稳态增长率解就不可能是严格正则生产函数经济中可能真正出现的稳态增长率，甚至也不可能是严格正则生产函数经济中可能出现的增长率。在严格正则生产函数经济中，可能出现的非零的增长率和稳态增长率都只能是大于零的增长率。
在本节所讨论的情况下，某些物品非零的稳态增长率解之所以必须小于零，是由于所有的物品在生产上都全自变量规模报酬递增。由此可以得出结论：如果所有物品在生产上都全自变量规模报酬递增且没有外生给定增长率，就可能有非零的稳态增长率解，但仍然没有非零的稳态增长率。在这种情况下，偏离所有物品的增长率都为零的状态时只可能有某些物品有大于零的增长率，而不可能有任何物品的增长率小于零。这样一种状态的发展动态只可能有两个前途：或者是最终趋向所有物品增长率都等于零的稳态，或者是永远按式（I.9.9）所描述的增长动态变动其增长率，而不趋向任何稳态增长。在后一种情况下，动态增长系统是不稳定的。
但是，由于本节讨论的小于零的稳态增长率解是由所有物品都报酬递增造成的，偏离稳态增长率的零解的后果更可能是进入不稳定的增长动态。根据式（I.9.9）对增长动态所作的分析告诉我们，如果所有物品的增长率都不小于零，有最低的非负增长率的报酬递增物品其增长率将会上升。而当所有物品都报酬递增时，整个经济中最低的非负增长率将会不断提高，并且不会收敛到任何一个特定的水平上。这就使整个经济进入增长率不断提高的爆炸性不稳定增长。而这样一个经济具有某些物品的增长率小于零的稳态增长率非零解，只不过标志着这个经济一旦偏离零增长之后就会进入爆炸性增长。
第三节 一种物品的增长率外生给定
本节讨论的情况是：只有一种物品的增长率外生给定，而其它所有物品的生产都全自变量规模报酬递增。
命题15
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果只有一种物品有外生给定的非零增长率，其它物品的生产函数都是全自变量规模报酬递增的，这些物品的稳态增长率解也都与外生给定增长率有相同正负号，则在该经济的n种不同物品的稳态增长率解中，外生给定的第n种物品增长率绝对值最小。
证
根据命题14，任一生产上全自变量规模报酬递增物品k的稳态增长率具有非零解的一个必要前提，是该经济在稳态增长下至少存在下述两种物品中的一种：一种物品在稳态增长率解上与物品k的正负号不同，这种物品可以是规模报酬递增的；另一种物品h是规模报酬不递增的，它在稳态增长率解上与k的正负号相同，且在稳态增长率解绝对值上小于任何与物品k有相同正负号的稳态增长率解的规模报酬递增物品。
而在本命题所说的经济中，不存在与任何报酬递增物品在稳态增长率解正负号上不同的物品，因而不可能通过命题14中所说的第一种物品来满足报酬递增物品稳态增长率有非零解的必要前提，只能通过命题14中所说的第二种物品来满足报酬递增物品稳态增长率有非零解的必要前提。这种物品必须是一种规模报酬不递增的物品，而在本命题所说的经济中，这种物品只能是那种增长率外生给定的物品。
这样，增长率外生给定的物品与各种报酬递增物品有相同的稳态增长率解正负号并在稳态增长率解绝对值上小于任何报酬递增物品，就成了本命题所说的经济中任何报酬递增物品有非零的稳态增长率解的前提条件。在本命题所说的经济中，如果任何报酬递增物品有非零的稳态增长率解，则由于增长率外生给定的物品与各种报酬递增物品有相同的稳态增长率解正负号，增长率外生给定的物品在稳态增长率解绝对值上必定小于任何报酬递增物品。
证毕
由命题15可以直接得出
推论15
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果只有一种物品有外生给定的正增长率，其它物品的生产函数都是全自变量规模报酬递增的，这些物品的稳态增长率解也都大于零，则在该经济的n种不同物品的稳态增长率中，外生给定的第n种物品增长率最低。
例子15.1：新古典增长模型中的数值排序
在例子7中列举了两种新古典增长模型，两者都将技术存量A的增长率g与劳动L的增长率n看作是外生给定的：
索洛本人的模型在讨论“中性技术变化”时，实际上列出了三个自变量的柯布－道格拉斯最终产品生产函数
（例7.2） 式中的Y为最终产品产出，K为物质资本存量。索洛证明，这种情况下最终产品产出和物质资本存量的稳态增长率都等于
。 而罗默简化的新古典经济增长模型则假定最终产品的生产函数为
（例7.3） 由这个生产函数所推得的最终产品产出和物质资本存量的稳态增长率都为
。 由于这两个模型都假设
，以及外生给定的劳动力增长率n和技术存量增长率g都大于零，这两个模型中最终产品和物质资本的稳态增长率（
和
）都大于任何一种外生给定的增长率（n或g）。例子7中已经指出，这是由于在这两种新古典增长模型中，最终产品的生产函数都是全自变量规模报酬递增的。而在本节中，我们注意的是新古典增长模型中稳态增长率的数值排序：当报酬递增物品（物质资本和最终产品）与外生给定的增长率有相同的正负号时，报酬递增物品在稳态增长率的绝对值上大于外生给定的增长率。这可以看作是印证了命题15和推论15。不过，命题15和推论15讨论的情况是只有一种物品有外生给定的非零增长率，而新古典增长模型则假定有两种物品的增长率外生给定。 例子15.2：外生给定增长率与报酬递增物品——稳态增长率解正负号相同的情况
某经济的最终产品生产函数是全自变量规模报酬递增的：
，其中
为第i种自变量物品用于生产第j种物品的份额，K为物质资本的存量。自变量物品A的生产函数也是全自变量规模报酬递增的：
，而自变量物品L的增长率外生给定。各种物品都没有折旧。 按照本书第一章所说明的运算程序，我们可以解出最终产品及3种自变量物品的稳态增长条件，并且定义物品L为基准物品，将其外生给定的增长率标准化为1，将物品K和最终产品的标准化稳态增长率标为k，记物品A的标准化稳态增长率为a。由此可知在稳态增长下，物品K和物品A的标准化稳态增长率必定是下述联立方程组的解：
（例15.2） 解此方程组，得报酬递增物品K的标准化稳态增长率为
，报酬递增物品A的标准化稳态增长率为
。正如命题15所说，如果除一种物品增长率外生给定之外其它所有物品在生产上都规模报酬递增，且所有物品的稳态增长率非零解都有相同的正负号，则各报酬递增物品在稳态增长率解的绝对值上都大于外生给定的增长率（这里标准化为1），该经济中外生给定增长率的绝对值最低。 注意：在本节所述命题中，规定了各报酬递增物品的稳态增长率解与外生给定增长率有相同的正负号这个前提条件。而在许多情况下，报酬递增物品的生产函数本身就决定了某些报酬递增物品的稳态增长率解与外生给定的增长率有不同的正负号。在这种情况下，命题15及其推论当然无法适用。而在至少一种物品的增长率外生给定的条件下，什么情况下各种不同物品的稳态增长率解会有不同的正负号，这正是本书第五章所要讨论的问题。
第五章 稳态增长率解有不同正负号
第四章第二节已经指出，如果所有物品的生产都全自变量规模报酬递增且没有外生给定的增长率，则各种不同物品非零的稳态增长率解必定有不同的正负号。本章讨论除这种情况之外的其它情况，在这些情况下，各种不同物品非零的稳态增长率解也会有不同的正负号。
在本章的讨论中，至多只有一种物品的增长率是外生给定的。这是因为如果有两种及两种以上物品的增长率外生给定，则外生给定的增长率本身就可以有不同的正负号，这就足以使稳态增长率解有不同的正负号了。我们不讨论外生给定增长率引起的这种正负号不同。
第二章已经指出，如果所有物品的生产都全自变量规模报酬不变且至多只有一种外生给定的增长率，则所有物品的稳态增长率解都彼此相等。第三章第二节和第三节分别说明，如果所有物品的生产都全自变量规模报酬递减，则该经济没有非零的稳态增长率解；即使所有物品的生产都规模报酬不递增且至多只有一种外生给定的增长率，各种不同物品非零的稳态增长率解也不会有相反的正负号。这些命题总起来足以说明，只有在至少一种物品的生产全自变量规模报酬递增时，各种不同物品非零的稳态增长率解才会有相反的正负号；第四章更证明了，如果只有报酬递增物品而没有外生给定的增长率，则各种不同物品非零的稳态增长率解就必定会有相反的正负号。
但是如果有一种或一种以上物品有外生给定的增长率或生产上全自变量规模报酬不递增，各种不同物品非零的稳态增长率解仍然可能有相同的正负号。第四章第三节中已经提到了这样的情况，本章及以下各章将更详细讨论这种情况下各种不同物品非零的稳态增长率解的正负号问题。
第四章第二节中已经指出，如果稳态增长率的非零解中有某些物品有小于零的增长率，这种稳态增长率解就不可能是严格正则生产函数经济中可能真正出现的稳态增长率，甚至也不可能是严格正则生产函数经济中可能出现的增长率。在严格正则生产函数经济中，可能出现的非零的增长率和稳态增长率都只能是大于零的增长率，偏离所有物品的增长率都为零的状态时只可能有某些物品有大于零的增长率，而不可能有任何物品的增长率小于零。现在我们已经清楚，之所以出现小于零的稳态增长率解是由于某些物品的生产报酬递增；而第四章第二节已经指出，在某些物品的生产报酬递增的情况下，偏离稳态增长率的零解的后果更可能是进入不稳定的增长动态，这时整个经济进入增长率不断提高的爆炸性不稳定增长。而这样一个经济具有某些物品的增长率小于零的稳态增长率非零解，只不过标志着这个经济一旦偏离零增长之后就会进入爆炸性增长。
第一节 自变量物品对其自身生产的贡献率大于一
命题16
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果稳态增长率有非零的解，而某种自变量物品具有规模报酬“超递增”的生产函数（即
，该物品对其本身生产的贡献率大于一；如果该物品的生产函数是柯布—道格拉斯式的，这意味着该物品的投入在其本身的生产中是边际产量递增的），则必定有某些物品的“稳态增长率解”为负，各种不同物品的“稳态增长率解”中，有的大于零，有的小于零。 证
可以将式（I.10.3）中的第j种物品稳态增长条件改写为
（V.1） 若
，则
。但是因为对每个i都有
，且在有非零的稳态增长率解时,至少对某些i有
，所以式（V.1）左边的
必定与右边的某些
有相反的正负号。这就意味着该经济中某些自变量物品的稳态增长率解为负。 证毕
例子16.1：规模报酬“超递增”的生产函数
某经济的最终产品具有规模报酬“超递增”的生产函数：
，其中
为第i种自变量物品用于生产第j种物品的份额，K为物质资本的存量。自变量物品A的生产函数是全自变量规模报酬不变的：
。各种物品都没有折旧。当该经济的稳态增长率有非零的解时，可以将自变量物品L看作基准物品，不必考虑其生产函数的状态。 按照本书第一章所说明的运算程序，我们可以解出最终产品及3种自变量物品的稳态增长条件。由于定义物品L为基准物品，可以将其外生给定的增长率标准化为1，将物品K和最终产品的标准化稳态增长率解标为k，记物品A的标准化稳态增长率解为a。由此可知在稳态增长下，物品K和物品A的标准化稳态增长率必定是下述联立方程组的解：
（例16.1） 由此解得
。由于物品K具有规模报酬“超递增”的生产函数，对其本身生产的贡献率大于一，物品K和物品A的稳态增长率解都与基准物品的稳态增长率解正负号相反。 在本命题所说的情况下，由于自变量物品对其本身生产的贡献率大于1而造成了不同物品的稳态增长率解有不同正负号。这可以说是生产函数的性质使不同物品的稳态增长率解正负号必定相反。而当某种自变量物品对其本身生产的贡献率大于1时，该物品的生产必定是全自变量规模报酬递增的。
本命题必定适用于只有报酬递增物品而没有外生给定增长率的情况。第四章已经指出，当所有物品的生产都全自变量规模报酬递增而没有外生给定的增长率时，各种不同物品的稳态增长率非零解必定有不同的正负号。本命题所说的就是上述情况的一种极端的特例。
本命题也适用于某些物品有外生给定增长率或并非报酬递增的情况。原则上说，只要有某些物品的生产是全自变量规模报酬递增的，各种不同物品的稳态增长率解就有可能有不同的正负号。这一点也同样适用于有外生给定增长率的条件下。但是第四章也表明，如果有至少一种物品的增长率外生给定，则即使其它物品都在生产上全自变量规模报酬递增，也可能各种不同物品的非零稳态增长率解有同样的正负号。以下各章还会说明，当有些物品报酬递增、有些物品报酬递减时，各种不同物品的非零稳态增长率解也可能有同样的正负号。而本命题则说明了，在上述两种情况下，什么条件会使各种不同物品的非零稳态增长率解必定有不同的正负号。由于本命题所说的是生产上全自变量报酬递增的一种极端情况，它就印证了本章开头的论点：报酬递增物品的存在使各种不同物品的非零稳态增长率解有不同正负号成为可能。
在本命题所说的情况下，非零的稳态增长率解不可能是该经济的稳态增长率。这是因为在任何严格正则生产函数经济中，如果一个稳态增长率解中各种不同物品的解有不同的正负号，则该稳态增长率解不可能是该经济的稳态增长率。本书第一章和第四章都论证了这一点。
本章的开头曾经指出，一个经济具有某些物品的增长率小于零的稳态增长率非零解，这往往标志着这个经济没有真正的稳态增长率，将陷入增长率不断提高的爆炸性增长。本命题所说的情况就是这方面的典型。
例子16.2：爆炸性增长的规模报酬“超递增”生产函数
戴维·罗默在其宏观经济学教科书中分析了一个只有劳动L和技术A这两种自变量物品的经济（Romer, D. ，1996，第三章第2节），其中最终产品Y的生产函数为
，A的生产函数为
，而式中的B，
都为大于零的常数，L的增长率n则外生给定。A的生产函数中的参数
就是命题16中说的自变量物品对其本身生产的贡献率
。显然该经济中最终产品的增长率只能为
。罗默还根据A的生产函数推出了技术水平A的稳态增长条件 
（例16.2） 显然当
时，物品A的稳态增长率解必定与人口增长率n正负号相反。这时如果人口增长率n大于零，物品A的稳态增长率解就必定小于零。 但是戴维·罗默书中的分析说明，当
时，该经济的增长率以及自变量物品A的增长率都将不断上升。这是一个典型例子，说明一旦某种自变量物品对其本身生产的贡献率
大于1，该经济各种不同物品的非零稳态增长率解就会有不同的正负号，而这种稳态增长率解不可能是严格正则生产函数经济的稳态增长率，该经济将没有非零的稳态增长率，至少在所有物品都投入增长率非外生给定物品生产时会陷入增长率不断上升的爆炸性增长。 第二节 稳态增长率解正负号必定相反的其它情况
即使任何自变量物品对其本身生产的贡献率
都不大于1，只要满足某些数量关系，各种不同物品的稳态增长率解也必定会有不同的正负号。 命题17
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，当基准物品n的增长率外生给定时，即使所有的自变量物品对其本身生产的贡献率都小于1（即
），如果各种非基准物品有不同的稳态增长率解，除基准物品外的所有物品在某种物品j的生产上全自变量规模报酬递增，且物品j的标准化稳态增长率小于除基准物品之外的所有物品平均的标准化稳态增长率
，基准物品对该物品j生产的贡献率大于零（即存在物品j，使得
，且
），该物品稳态增长率的非零解就会与基准物品的稳态增长率解正负号相反，使各种不同物品的稳态增长率非零解有相反的正负号。 证
如果将物品n作为基准物品，以此为基础将各种物品的稳态增长率解标准化，则第n种物品的标准化稳态增长率解为1。物品j的稳态增长率解与基准物品稳态增长率解正负号相反，意味着
。 根据式（I.11.3），第j种物品的标准化稳态增长率必须满足条件
（V.2） 在本命题所讨论的情况下，有
且
。由此可得
，并可以进一步由此推得
。 将上述不等式代入式（V.2）可得
该式意味着对物品j有
在本命题所讨论的情况下，
且
，于是必有
，即物品j的稳态增长率解与基准物品稳态增长率解正负号相反。 证毕
例子17.1：外生给定增长率、报酬不变与报酬递增物品——稳态增长率解正负号相反
某经济的最终产品生产函数是全自变量规模报酬不变的：
，其中
为第i种自变量物品用于生产第j种物品的份额，K为物质资本的存量。自变量物品H的生产函数是全自变量规模报酬递增的：
，而自变量物品L的增长率外生给定。各种物品都没有折旧。 按照本书第一章所说明的运算程序，我们可以解出最终产品及3种自变量物品的稳态增长条件，并且定义物品L为基准物品，将其外生给定的增长率标准化为1，将物品K和最终产品的标准化稳态增长率标为k，记物品H的标准化稳态增长率为h。由此可知在稳态增长下，物品K和物品H的标准化稳态增长率必定是下述联立方程组的解：
（例17.1） 报酬递增物品h的生产对基准物品之外的其它物品也报酬递增，因为
。 解方程组（例17.1），得最终产品和物质资本的标准化稳态增长率为
，报酬递增物品H的标准化稳态增长率为
。报酬递增物品h的标准化稳态增长率小于零，与基准物品的稳态增长率解正负号相反。正如命题17指出的，这是因为物品h的标准化稳态增长率（
）小于除基准物品之外的所有物品平均的标准化稳态增长率（
）。 但是，命题17与本书中的其它许多命题不一样，没有为模型的分析结果提供准确的预测。本书的其它许多命题都为稳态增长模型的分析结果提供了准确的预测，可以依据这些命题，根据稳态增长模型的数学形式而预言稳态增长率的解会是什么样子的。而在命题17中，虽然也预言了在什么条件下稳态增长率的解将为负数，但是得出这样的结论时所需要的前提，不仅有可以从模型中观察到的
，而且有相关物品的标准化稳态增长率解
小于除基准物品之外的所有物品平均的标准化稳态增长率这一点。但是一般说来，如果不解出所有物品的稳态增长率解，就无法判断物品j的标准化稳态增长率解是否小于除基准物品之外的所有物品平均的标准化稳态增长率。因此，本命题通常只能在从模型中解出稳态增长率解之后用于印证分析是否正确，而不能用于精确地预言模型的分析结果。 例子17.2：外生给定增长率、报酬不变与报酬递增物品——稳态增长率解正负号相同
例如，可以对例子17.1中的两个生产函数仅仅作一个微小的改动：将报酬递增物品h对其自身生产的贡献率由0.7变为0.5，于是自变量物品H的生产函数就变为
，而（例17.1）中的稳态增长条件变为 
（例17.2） 解此方程组，可得h = 16，k = 13，三种物品的稳态增长率解有相同的正负号。但是在这种情况下，报酬递增物品h的生产对基准物品之外的其它物品也报酬递增，因为
。当然，物品h的标准化稳态增长率（16）大于除基准物品之外的所有物品平均的标准化稳态长率（
），但是这一点却只能在求出标准化稳态增长率解之后才能看出。在解出稳态增长率解之前，我们只能观察到
这一事实，因而无法预测到各种不同物品的稳态增长率解都有相同的正负号。 命题18
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果所有外生给定的增长率都有相同的正负号，除增长率外生给定的物品之外，其它任何物品的生产都使用了所有的物品，并且任何非外生给定增长率的物品的生产都对所有增长率非外生给定的物品规模报酬递增，则当该经济的稳态增长率有非零解时，各种不同物品的稳态增长率非零解必定有相反的正负号。
证
将增长率外生给定的物品标为物品k，增长率非外生给定的物品标为物品h；如果增长率外生给定的物品有m个，增长率非外生给定的物品就有n - m个。
所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，意味着在那n - m个增长率非外生给定的物品中，对任何物品j都有
。 任何增长率非外生给定的物品的生产都对所有增长率非外生给定的物品规模报酬递增，意味着在那n - m个增长率非外生给定的物品中，对任何物品j都有
式（I.10.3）表明，对任何一组非零的稳态增长率解，将每种物品的稳态增长率解都乘以-1所得的仍为一组非零的稳态增长率解，在这组稳态增长率解下稳态增长条件依然成立。而在本命题所说的情况下，所有外生给定的增长率都有相同的正负号，这就使我们可以将每种外生给定的增长率
都规定为大于零。这样丝毫不影响证明结果的普遍适用性，却可以简化证明的过程。由于每种外生给定的增长率都大于零，因此必有 
根据式（I.10.3），在本命题所说的条件下，对任何增长率非外生给定的物品j，稳态增长率解都必须满足稳态增长条件
（V.2.1） 由于
，式（V.2.1）意味着 
（V.2.2） 由于对任何增长率非外生给定的物品j都有
，如果任何增长率非外生给定物品的稳态增长率解都大于零，则对增长率非外生给定物品中稳态增长率解最小的物品
来说就必有 
这意味着
但是在这种情况下，式（V.2.2）中的稳态增长条件无法成立。这意味着要使式（V.2.2）中的稳态增长条件成立，那n - m个增长率非外生给定物品的稳态增长率解
中至少要有一个小于零。这也就是说，在本命题所说的情况下，要使稳态增长条件成立，增长率非外生给定物品的稳态增长率解至少必须有一个与外生给定的增长率有相反的正负号。 证毕
第三节 判断稳态增长率解正负号可能相反的标准
为此首先需要引入概念“按物品j计算的平均增长率
”： 定义19
定义“按物品j计算的平均增长率”
= 
，其中
。 当j代表不同的自变量物品时，系数
通常会不一样。由于这个原因，即使是对同一组特定的增长率（
），按上述定义计算的平均增长率对于不同的物品j常常会不同，甚至同一个物品的增长率
是高于还是低于平均增长率，在按不同物品j计算的不同平均增长率下也有可能不同。但是由于所有的系数
都大于零，同一组特定的增长率（
）如果不是完全彼此相等，则其中最高的增长率
会高于按任何物品计算的平均增长率，最低的增长率
也会低于按任何物品计算的平均增长率。 根据按物品j计算的平均增长率定义，式（I.10.3）中的稳态增长条件可以变换为
或 
（V.3） 由于在正则生产函数经济中恒有
，根据式（V.3），任何物品的稳态增长率解都不可能与按该物品计算的平均增长率有相反的正负号；在这个前提下，以绝对值衡量，如果物品j在生产上全自变量规模报酬递增（
），则该物品的稳态增长率解大于按该物品计算的平均增长率；如果物品j在生产上全自变量规模报酬递减（
），则该物品的稳态增长率解小于按该物品计算的平均增长率；如果物品j在生产上全自变量规模报酬不变（
），则该物品的稳态增长率解等于按该物品计算的平均增长率。 稳态增长条件
还表明，如果不同物品的稳态增长率解有不同的正负号，则自变量物品对其本身的平均增长率有很大影响，因为此时在同样的一组稳态增长率解之下，按不同物品计算的平均增长率有很大差别，且这些平均增长率的正负号取决于相应物品稳态增长率解的正负号：按稳态增长率解大于零的物品计算的平均增长率大于零，按稳态增长率解小于零的物品计算的平均增长率小于零。这就说明，如果不同物品的稳态增长率解有不同的正负号，则至少对某些物品j，该物品影响其本身平均增长率的系数
会很大。 命题19
在一个折旧率不随时间而变化的正则生产函数经济中，1. 如果所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，则当不同物品的稳态增长率解有不同的正负号时，该经济中至少有一种物品的生产是全自变量规模报酬递增的；2.如果有外生给定的增长率,但是所有外生给定的增长率都有相同的正负号，所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，则各种不同物品的稳态增长率非零解有相反的正负号时，至少有一种物品的生产对所有增长率非外生给定的物品规模报酬递增。
证
这里首先使用按物品j计算的平均增长率定义来论证命题19中的论点1。
1. 显然，除非所有物品的增长率都完全彼此相等，否则在按任何物品计算的平均增长率下，都必定有某些物品的增长率高于这一平均增长率，而同时就有另一些物品的增长率低于这一平均增长率。
当各种不同物品的稳态增长率非零解有不同正负号时，我们可以任意取一组稳态增长率解正负号相同的物品，将它们的稳态增长率解符号规定为正，于是这些稳态增长率解中绝对值最大的物品就有了最高的增长率
，
也必定大于按物品h计算的平均增长率。此时由于不同物品的稳态增长率解有不同的正负号，最小的稳态增长率解
就必定小于零。这一最低的增长率
不仅低于按物品h计算的平均增长率，也必定低于按物品
本身计算的平均增长率。 由于
是稳态增长率解，如果它不是外生给定的增长率的话，它与按物品
本身计算的平均增长率的关系就必须满足式（V.3）。在本命题讨论的情况下，
，根据式（V.3），由于
，按物品
本身计算的平均增长率
必定也小于零，且有
。但是由于
必须小于
，
就必须大于1，只有这样才能在
和
都小于零的情况下满足式（V.3）的稳态增长条件
，并使
。
意味着物品
的生产是全自变量规模报酬递增的。而如果物品
的生产全自变量规模报酬递减（
）或报酬不变（
），就不可能在
和
都小于零、
的条件下使
。 以上论证说明，如果所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，则当不同物品的稳态增长率解有不同的正负号时，该经济中至少有一种物品的生产是全自变量规模报酬递增的。
对命题19中的论点2可作如下论证：
2. 将增长率外生给定的物品标为物品k，增长率非外生给定的物品标为物品h；如果增长率外生给定的物品有m个，增长率非外生给定的物品就有n - m个。
由于所有的物品都参与除增长率外生给定的物品之外的任何其它物品的生产，对任何增长率非外生给定的物品j就都有
。 由于所有外生给定的增长率都有相同的正负号，就可以象命题18的证明中所作的那样，将每种外生给定的增长率
都规定为大于零，以简化证明的过程，同时又丝毫不影响证明结果的普遍适用性。这样就有 
在这种情况下，对任何增长率非外生给定的物品j，其任何非零的稳态增长率解都必定满足式（V.2.2）中的那种稳态增长条件：
（V.2.2） 而各种不同物品的稳态增长率非零解有相反的正负号，则意味着在那n - m个增长率非外生给定物品的稳态增长率解
中，至少有一个要小于零。 如果任何增长率非外生给定的物品的生产都对所有增长率非外生给定的物品规模报酬不递增，则对任何增长率非外生给定的物品j都有
将增长率非外生给定物品中稳态增长率解小于零且其绝对值最大的物品标为物品
，它的稳态增长率解为
，并由此得
。 由于
在小于零的稳态增长率解中绝对值最大，因此，如果在稳态增长率解中所有的
都小于零，则虽有
，但是由于
，必有
。在这种情况下，
，无法满足式（V.2.2）中的稳态增长条件。 如果某些其它物品h的稳态增长率解
大于零，则可能出现两种情况：一种情况是由于某些
大于零，
，此时必有
，式（V.2.2）中的稳态增长条件不可能得到满足；另一种情况是虽有
，但是由于
是小于零的
中绝对值最大者，
，还由于大于零和小于零的
相互抵销，因此必有
，此时
，式（V.2.2）中的稳态增长条件也不可能得到满足。 综合以上3种可能的情况可知，在本命题所说的情况下，只要任何增长率非外生给定的物品的生产都对所有增长率非外生给定的物品规模报酬不递增，某些物品的稳态增长条件就不可能得到满足。从以上有关物品
的分析还可看出，在本命题所说的情况下，只有当物品
的生产对所有增长率非外生给定的物品规模报酬递增（即
）时，物品
的稳态增长条件才可能得到满足。这也就是说，在本命题所说的情况下，只有当至少稳态增长率解的正负号与外生给定增长率相反且其绝对值最大的物品在生产上对所有增长率非外生给定的物品规模报酬递增时，不同物品的稳态增长率解才可能有相反的正负号。 证毕
注意：至少有一种物品的生产对所有增长率非外生给定的物品规模报酬递增，这只是在有外生给定增长率的条件下不同物品稳态增长率解有相反的正负号的必要条件，而非其充分条件。例子17.2表明，在至少有一种物品的生产对所有增长率非外生给定的物品规模报酬递增的条件下，有外生给定增长率时不同物品的稳态增长率非零解仍可能有相同的正负号。所有增长率非外生给定的物品的生产都对所有增长率非外生给定的物品规模报酬递增，才是有外生给定增长率时不同物品的稳态增长率非零解有相反的正负号的充分条件。
例子19
戴维·罗默的宏观经济学教科书中，曾经分析了一个有物质资本K、劳动L和技术A这三种自变量物品的经济，其中劳动的增长率n外生给定，最终产品Y的生产函数为
，A的生产函数则为
。这两个公式中的B，
，
都为大于零的给定常数。罗默据此导出
时该经济的稳态增长条件 
（例19.A） 罗默还将上述两个稳态增长条件合并为（Romer, D. ，1996，第三章3.3）
（例19.B） 这个稳态增长条件当然也是
时该经济的稳态增长条件。但是当
时，物品A的稳态增长率解必定与物品L的稳态增长率解n有相反的正负号。由于n是外生给定的增长率，所以
是物品A的生产对所有增长率非外生给定的物品的规模报酬程度，
意味着物品A的生产对所有增长率非外生给定的物品规模报酬递增。物品A的稳态增长率解与外生给定增长率n有相反的正负号，印证了命题19的第2点：当各种不同物品的稳态增长率非零解有相反的正负号时，至少有一种物品的生产对所有增长率非外生给定的物品规模报酬递增。 (本文为全文第二部分, 其它内容待续)