一类马氏环境中连续型传染病模型的灭绝概率

董海玲/侯振挺/李岩

【内容提要】

这篇文章主要研究一类马氏环境中的连续型传染病模型，即假设疾病传染率和病人减少（死亡或治愈）的发生频率及数目都受一外在马氏过程的影响。在这些假设下，我们得出初始状态为i时疾病的灭绝概率满足的积分方程，并通过Laplace-变换的方法，给出了积分方程的解。进一步，当外在马氏环境为两个状态，并且每次病人减少的数目都服从指数分布时，给出了灭绝概率Laplace-变换的明确表达式。

【关 键 词】马氏过程/马氏调制/灭绝概率/传染率/Laplace-变换

    引言
        传染病历来就是危害人类健康的大敌，历史上一次又一次的流行给人类生存和国计民生带来了巨大的灾难。近20年以来国际上传染病数学模型研究进展迅速，大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题。这些数学模型大多是适用于各种传染病的一般规律的研究，从模型的数学结构来看，绝大多数传染病模型是常微分方程组，具有年龄结构的模型是一阶偏微分方程组，具有扩散项的模型是二阶偏微分方程组，具有时滞因素的是时滞微分积分方程组或微分方程组，传染病的防治优化模型是满足一些方程组的泛函极值问题。这些数学模型构成了丰富多彩的传染病数学模型，这方面的工作可参看[7～10]。Hethcote对这些工作进行了系统的总结[13,14]。我国学者最近具有代表性的工作可参看[11,12]。但是这些方法大多没有考虑外界环境的随机影响，实际上，外界的因素，例如：气候、医疗条件等对传染病的发展和控制有很重要的作用。本文和[1]都是考虑了外界随机因素对传染病的传染率、治疗情况等方面的影响，使得传染病模型更加贴合实际，并且把概率的方法引入传染病模型的研究，是一种大胆的创新。
        这篇文章是[1]的继续，借鉴概率中的方法来考虑这样一类受马氏环境调制的传染病模型，即病人的传染率、病人减少的发生频率及数目全部受一外在马氏环境（如医疗条件、天气状况等）的影响。而且本文在给出灭绝概率满足的积分方程后，引入Laplace-变换的方法，给出了方程的解，在例子中，即当外界环境为两个状态，病人减少的数目服从指数分布时，进一步给出了灭绝概率Laplace-变换的明确表达式。本文考虑了周围随机因素对传染病传播的影响，有利于我们控制传染病的传播。本文结构如下：第一部分主要给出受马氏环境调制的传染病模型的初步知识，第二部分我们得出初始状态为i时疾病灭绝概率的积分方程，并且进一步，通过Laplace-变换的方法给出积分方程的解。第四部分给出了一个例子。
        
         
         
         
         
    

【作者简介】董海玲侯振挺李岩中南大学数学科学与计算技术学院，长沙410075