基于Spearman ρ的时变Copula模型的模拟及应用

内容提要：本文从Spearman ρ入手，利用Spearman ρ在非线性单调变换的情况下保持不变的特点，以及与条件期望预测机制存在的非线性的关系，提出建立时变Copula的模型的新方法；通过建立时变FGM-Copula模型的实例分析表明，这种构建Copula模型的方法较好捕捉了相依机制的时变性，预测了随机变量的趋势，具有一定的优越性。
    关键词：时变Copula 条件期望预测机制 Spearman ρ 回归函数
    作者简介：王沁，西南交通大学数学学院（四川 成都 610031），中国科学技术大学统计与金融系（安徽 合肥230026）；王璐，王平，西南交通大学数学学院。
    0引言
    时变Copula技术是一种能随“时间”变化的、“动态”的、“整体”的刻画变量之间的相依机制的灵活、稳健的工具，自从Patton A J[1-2]利用时变Copula模型对多变量数据进行相关性分析以来，时变Copula模型得到广泛的研究和应用[3-6] 。
    构建时变相关Copula模型的关键在于建立Copula函数的相关参数的演化方程。由于Copula函数的相关参数常常与Pearson的线性相关系、尾部相关系数等相依指标有一一对应的关系，所以，可以利用这个特征，通过确立相应的相依指标随时间的动态方程来确定Copula函数的相关参数的演化方程。尽管Pearson的线性相关系数刻画了方差有限前提下变量之间的线性相关性，但是在非线性单调变换的情况下Pearson的线性相关系数会发生改变。所以，利用Pearson的线性相关系数建立起来的时变copula模型，在捕捉金融变量之间相依结构方面还存在一些缺陷。Kendall τ刻画了变量之间和谐与不和谐的差异性，Spearmanρ刻画了随机变量与相互独立变量之间协调性的差异。在随机变量发生非线性单调变换的情况下，Kendallτ和Spearman ρ都是保持不变的，所以，从Kendall τ或Spearman ρ出发构建时变的copula模型是可行的，具有较大的优越性[7-9]。
    本文从Spearman ρ这一相关指标入手，构造时变Copula模型，从而捕捉金融变量之间动态相依结构。这种方法的优点是：(1)克服了非线性单调变换的情况下对变量之间的相关性的影响；(2)Spearinanρ是独立随机变量与相依随机变量之间协调性差异的度量，是一个全局变量，充分反映了变量之间的相依信息。(3)Spearman ρ与条件期望预测机制存在一种非线性的关系，因此，可以利用这种非线性关系进行预测。
    1 Spearman ρ与时变Copula模型
    
    
    其中系数是为了保证Spearman ρ取值范围为[-1,1]而选取的。
    
    对于Spearman ρ计算以及性质的研究，往往借助于Copula函数。
    
    由于随机变量(U,V)的Spearman ρ与的Spearmanρ一样，而且随机变量(U,V)的联合分布函数为C(u,υ)，边缘分布为[0,1]上均匀分布，包含了原有所有的相依信息，将边缘分布与相依结构分离开了，所以，在研究中，常常通过概率积分变换转化为边缘为均匀分布的Copula函数C(u,v)，从而进一步研究Spearman ρc的特性。
    
    
    从定理1和定理2可以看出，条件数学期望E(V|U=u)由Copula函数C(u,υ)决定，包含了所有相依信息，与Spearman ρ存在非线性关系。另外一方面，条件数学期望E(V+U=u)是在已知U=u发生的条件下，对V的一个比较合理的预测，Spearman ρ的估计量非常容易计算，所以，可以从Spearman ρ出发建立预测机制。
    例如，FGM-Copula函数族，其Copula函数为[11]：
    
    对于FGM-Copula函数簇，Spearman ρ，一方面与相依机制的总体参数θ一一对应，另一方面又与Copula回归函数之间存在一种非线性的关系。所以，根据Patton A J[5]的观点，可以利用一个类似于ARMA(1,10)的过程来描述Spearman ρ的时变性，然后，根据Spearman ρ与总体参数一一对应的关系，建立总体参数随时间的动态演化过程，建立时变copula模型，并利用Spearman ρ与Copula回归函数的非线性关系，在已知U=u发生的条件下，对V作出预测。虽然，上述理论都是针对FGM-Copula模型来阐述的，但是这种利用Spearman ρ建立了时变的Copula模型，对于Spearman ρ与总体参数一一对应的所有Copula族都是适用的。至此，利用Spearman ρ构造了一类新的时变Copula模型，并建立了相应的预测机制。
    2蒙特卡罗模拟与时变Copula模型
    下面采用蒙特卡罗模拟方法生成FGM-Copula函数簇的样本数据，然后利用样本数据的Spearman ρ，建立时变FGM-Copula模型，进而对仿真序和真实序列进行比较分析，说明从Spearman ρ出发建立时变copula的优越性。
    步骤一生成样本容量为n=720的四个独立的服从标准均匀分布的随机数u(i)、w(i)和u1(i)、υ1(i),i=1,2,…,n。
    
    ，下图从时变FGM-Copula模型仿真得到前700对随机变量散点图（见图1）。
    
    图1时变FGM-Copula模型的散点图
    步骤三选取前700个数据计算Spearman ρ的样本值，后面20个数据留为预测分析。Spearmanρ的统计量为[11]：
    
    。如果数据太少，对Spearmanρ的估计会有太大的误差，所以，取m=1,2,…,650，从而保证至少利用了50个数据对Spearman ρ的估计，相应所得Spearman ρ的样本值如图2所示。
    
    图2Spearman ρ的样本值随m变化的图形
    步骤四利用一个类似于ARMA(1,10)的方程
    
    利用Spearmanρ的样本值，得到模型参数的估计值如表1所示。
    表1Spearman ρ的时变模型参数的估计值
    
    步骤五利用Spearman ρ与FGM-Copula模型参数的一一对应关系：
    
    和模型的相关结果，得到参数θ的动态演变过程，其图形如图3。
    从图上可以看出：利用Spearman ρ的演变方程，递推得的总体参数θ的估计值，随m呈单调递增，当增大到0.7附近时，估计值绕0.7上下波动，与真实情况的演变方程θ(i)=0.7+0.17×θ(i-1)基本吻合。
    根据总体参数θ的估计值进而得到时变FGM-Copula模型的随机变量散点图如图4。
    
    图3总体参数θ估计值的动态演变过程
    
    图4 Spearman ρ演化方程的时变FGM-Copula模型的散点图
    从上述图形可以看出：散点分布大致都成“U”型，左右两边具有对称性，在其分布的上尾和下尾，变量间的相关性基本是对称增长的，与蒙特卡罗模拟方法生成随机变量散点图相似，这说明对Spearman ρ所建立的随时间的演化方程；
    
    描述了参数θ的随时间演变的动态过程，所建立的时变FGM-Copula模型能捕捉样本数据的相依机制。
    3预测
    对于FGM-Copula而言，其所对应的Copula回归函数为：
    
    所以，利用θ的动态演变过程建立模型，通过随机变量变量U的样本值，利用对随机变量V进行预测。
    步骤一利用参数θ的动态演变过程建立模型。通过Eviews软件得到时间序列(t)的样本自相关系数图形如图5。
    
    图5序列(t)的自相关函数图
    由图5可以看到，可以用非中心的AR(1)模型对序列(t)进行拟合，其相应结果为表2。
    表2非中心的AR(1)模型的参数估计及评价指标结果
    
    从相关结果可以看出：估计值(t)的模型为：
    (t)=0.0137+0.97847(t-1).
    步骤二利用参数θ在i=700处的估计值和方程(t)=0.0137+0.97847(t-1)，计算(i),i=701,702,…,720。
    把后面20个的随机数u(i),i=701,702,…,720与(i),i=701,702,…,720代入
    
    计算，并与由θ(i)=0.7+0.17×θ(i-1),i=1,2,…,n代入生成的后面20个随机数υ(i),i=701,702,…,720进行比较，其结果如图6所示。
    
    图6预测值与真实值的比较图
    为了检验预测的结果好不好，采用绝对值平均误差MAE与均方误差的平方根RMSE作为评价指标。绝对值平均误差MAE与均方误差的平方根RMSE的计算结果如下：
    
    从绝对值平均误差MAE与均方误差的平方根RMSE的结果可以看出：预测值的波动曲线与真实值波动曲线基本一致，预测值与真实值相差偏差较小，这说明利用的Copula回归函数与Spearman ρ所建立的随时间的演化方程：
    
    基本能对随机变量V的趋势进行预测。
    4小结
    对于FGM-Copula而言，条件期望与Spearman ρ是一元线性函数，所以，利用这一线性关系，以及Spearman ρ的时变演化模型，建立了时变FGM-Copula模型与相应的预测机制。该时变FGM-Copula模型刻画了随机变量之间相依机制的波动性，能对随机变量的趋势进行良好的预测。
    从Spearmanρ出发所建立的时变FGM-Copula模型，所采用的外生变量为滞后十期的相互独立随机变量的乘积，虽然所采用的外生变量在一定程度上刻画了其它因素所导致Spearman ρ的变化，但是否比其它两类外生变量理想，还有待更进一步研究。
    由于Spearman ρ在非线性单调变换是保持不变的，是一个全局变量，而且与条件期望预测机制存在一种非线性的关系，因此，从Spearman ρ出发建立的时变Copula模型，具有一定的优越性，能更细致描述了随机变量之间相依机制，并提供相应预测机制，为建立时变Copula模型提供了一种新思路，但如何利用这种非线性关系进行预测是一个非常困难的问题。
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