横截面与时间序列的相关异质（三）——再论面板数据模型及其固定效应估计

推论4在面板模型的估计中，在一般的模型设定下，所谓不可观测的异质性（固定效应）并不是完全不可观测的；固定效应与回归元之间的相关是因为模型设定的遗漏变量导致的本可观测的元素被假定为不可观测而被放到了固定效应中，使得与回归元相关，是遗漏变量导致的结果；我们认为在估计固定效应时正确的模型形式应如式（34）所示的形式，在时间固定效应时加入 项估计，在截面固定效应时加入项估计，在双向固定时两者都加入，否则，模型就会有遗漏解释变量的问题，研究者会面临着损失重要的解释变量的危险。
    前面我们只是在有一个解释变量的情况下做出了直觉的说明，下面以时间固定效应为例，我们给出推论4的一般情况下的证明。
    传统的时间固定效应模型如下：
    
    
    
    
    另外，上面的讨论是用时期固定效应的情况做出的，而同样的结论可以推广到横截面固定效应和双向固定效应的情况，这里不再补充。
    
    
    三、结论
    面板数据模型的研究和应用，最早可追溯到Kuh（1959）、Mundlak（1961）、Hock（1962）、Balestra和Nerlove（1966）、Wallace和Hussain（1969）等，他们发展了最早的面板模型组间估计、组内估计、GLS及ML估计等方法。其中，早在Kuh（1959）的论文中就已经用组间估计发现了横截面样本与时间序列样本可能存在的相关关系不一致的问题，Kuh将这个不一致性解释为时序样本反应了变量的短期关系，而截面样本反应的是均衡的长期关系。但在之后的研究中，横截面维度与时序维度的样本相关异质问题却一直被忽略了，经典的面板模型设定成为标准的形式，即暗含假设自变量与因变量在不同维度的相关关系是同质的。在Balestra和Nerlove（1966）、Wallace和Hussain（1969）之后，研究者们更多地关心面板的估计是应该用组内估计还是考虑协方差矩阵加权的GLS估计，是用固定效应估计还是随机效应估计。其中，Maddala（1971）已经注意到，固定效应估计量的使用导致模型消除了组间样本的信息，而如果组间样本的变异程度相对于样本总的变异程度很大的话，模型是不够恰当的，他损失了大量的样本信息，但Maddala的对策则是转向了随机效应的研究。而随机效应的问题是其效应的随机性假定常常是不成立的，其估计方法忽视了可能存在的效应与解释变量之间的相关导致结果可能有偏误。Mundlak（1978）则通过再将固定效应做辅助回归进行分解，得到了与本文推论4类似的结论，但是他忽视了这个表面的模型估计问题背后隐藏的横截面与时序的相关异质问题，而这是我们更关心的。
    混合效应、横截面固定效应、时间固定效应以及双向固定效应，一步步地，几乎已经成为了使用面板数据模型的标准步骤。面板数据的使用者可能经常会碰到不同效应的使用对回归元的估计结果有很大的影响的情况，这经常被解释为是因为固定效应控制了所谓的不可观测的异质性，而这个固定效应可能是跟回归元相关的，这导致了使用的效应不同，估计结果就会有变化。实际上，严格来讲，我们认为这种解释是不准确的。我们在文中证明，横截面固定效应估计实际上做的是有线性约束的时间序列回归，其估计结果是用时序上的样本信息得出的，回归系数等于每个横截面的时间序列回归系数的加权平均，而时间固定效应估计实际上做的是有线性约束的横截面回归，回归的系数等于每个时点的横截面回归的系数的加权平均；而所谓的横截面固定效应（时期固定效应），或者说不可观测的异质性，实际上是约束每个横截面（每个时期）的误差项的均值为0的结果。而双向固定效应的估计量则是混合效应、截面固定效应和时间固定效应估计量的加权平均。
    因此，在使用不同的效应时估计结果经常有很大变化的原因有可能是因为在面板数据中自变量与因变量之间的相关关系在横截面维度和时间维度有本身就有显著不同导致的，我们称这种现象为面板数据的横截面维度和时间维度的相关异质，在图1和图5里我们用模拟生成的数据清晰地显示了这种现象。基于此，我们认为，在使用面板数据时，研究者需要十分清楚自己要研究的变量之间的相关关系是存在于哪个维度上的，或者说在哪个维度方向上结果才是真实的，依据逻辑和经济的理论来判断需要使用什么样的模型(14)，而不是依靠固定效应是否显著的统计检验。
    
    注释：
    ①可以分为混合效应、截面固定效应、时期固定效应和双向固定效应。
    ②这里所说的不同并不是面板模型中变系数模型所说的不同，而是横截面与时序上的不同，但是各个横截面（和时序）内部的系数仍然假定为是相同的。
    ③有学者以“由于我们的数据生成过程中x和z均为I（1）的过程，不可避免地陷入了时间序列上的伪回归问题”为由对我们提出质疑，这里我们想说明的是：我们知道自变量和因变量的非平稳性会导致时序上的伪回归问题，但注意x和z均为自变量而不是一个自变量一个因变量，没有拿x对z做回归；并且本文讨论的是为什么在样本非平稳和遗漏变量z的情况下，时间固定效应却能得到准确的估计，而其他效应，尤其是横截面固定效应和混合回归却得到完全错误的结果。这种回归元的设定是我们故意为之从而讨论这个问题，而不是违背

    
    (12)Mundlak主要探讨了横截面固定效应时的情况，不过本质上与时间固定效应是一样的。
    (13)针对其他任何类似于这样仅在不同时期有变化的变量也一样。
    (14)举个例子，现在我们有各个省份的房价增长率y和解释变量x，如果我们研究的问题是房价增长率在时序上的波动，比如为什么现在的房价增长率比过去高了，这很明显是时序上的问题，因此使用横截面固定效应在逻辑上是更合理的选择；而如果我们研究的问题是房价增长率在地区间的差异，比如为什么北京、上海等省区市的房价增长率比别的省区市高，这明显是横截面上的比较问题，因此这里使用时期固定效应更有可能是合理的选择。
    (15)但加入时要小心可能的逆向因果导致的内生性问题。
    参考文献：
    [1]Baltagi, Badi H., Econometric Analysis of Panel Data[M], Third Edition, John Wiley & Sons Ltd., 2005.
    [2]Hsiao, Cheng, Analysis of Panel Data[M], Second Edition, Cambridge University Press, 2003.
    [3]Arellano, Manuel, Panel Data Econometrics[M], Oxford University Press, 2003.
    [4]Greene, William H., Econometric Analysis[M], Fifth Edition, Pearson Education Inc., 2002.
    [5]Angrist, Joshua and Jorn-Steffen Pischke, Mostly Harmless Econometrics: An Empiricist's Companion[M], First Edition, Princeton University Press, 2008.
    [6]James H. Stock and Mark W. Watson, Introduction to Econometrics[M], Pearson Education, Inc., 2002.
    [7]Balestra, Pietro and Marc Nerlove, 1966, Pooling Cross Section and Time Series Data in the Estimation of a Dynamic Model: The Demand for Natural Gas[J], Econometrica, 3(34), 585～612.
    [8]Cherty V. K., 1968, Pooling of Time Series and Cross Section Data[J], Econometrica, 2(36), 279～290.
    [9]Hock, Irving, 1962, Estimation of Production Function Parameters Combining Time-Series and Cross-Section Data[J], Econometrica, 1(30), 34～53.
    [10]Kuh, Edwin, 1959, The Validity of Cross-sectionally Estimated Behavior Equations in Time Series Applications[J], Econometrica, 2(27), 197～214.
    [11]Wallace T. D. and Ashiq Hussain, 1969, The Use of Error Components Models in Combining Cross Section with Time Series Data[J], Eeonometrica, 1(37), 55～72.
    [12]Maddala G. S., 1971, The Use of Variance Components Models in Pooling Cross Section and Time Series Data[J], Econometrica, 2(39), 341～358.
    [13]Mundlak, Yair, 1961, Empirical Production Function Free of Management Bias[J], Journal of Farm Economics, 1(43), 44～56.
    [14]Mundlak, Yair, 1978, On the Pooling of Time Series and Cross Section Data[J], Econometrica, 1(46), 69～85.
    [15]Breusch TS., Mizon G. E. and Schmidt P., 1989, Efficient Estimation Using Panel Data[J], Econometrica, 3(57), 695～700.
    [16]Hausman J. A. and Taylor W. E., 1981, Panel Data and Unobservable Individual Effects[J], Econometrica, 6(49), 1377～1398.
    [17]Hsiao Cheng, 2007, Panel Data Analysis: Advantages and Challenges[J], Test, 1(16), 1～22.