Tobit模型估计方法与应用（三）

五、Tobit模型的估计Ⅲ：面板模型
    面板Tobit模型的估计方法与截面Tobit模型或者时间序列Tobit模型的估计方法要复杂得多，但是这些估计方法仍然是在两步法的基础上，结合面板模型估计方法的特点扩展的。
    Kalwij(2003)研究了不可观测的个体特殊的效应与解释变量相关时，这类面板数据Tobit模型的估计问题，作者选取了一阶差分的MLE的方法估计这类问题，分析了个体特殊效应参数估计值的敏感性，并用蒙特卡洛(Mente Carlo)方法对敏感性问题进行了实证分析。这类模型的估计也可以分两步进行，第一步是对每个连续时期进行MLE，第二步是用最小距离估计原理估计参数。用该方法估计个体特殊效应的面板Tobit模型，比用标准的面板Tobit方法估计参数得到的参数敏感性弱。
    
    FD-Tobit方法为：
    对具有个体特殊效应的面板模型相邻的时间的两个变量进行差分消除个体效应：
    
    Kalwij用蒙特卡洛试验选择N=｛500，1000｝、T=｛2，4，8｝，用两种方法分别计算了面板Tobit模型仿真下的MB、RMSE、MedB、MAD结果，实证结果表明，两种估计方法的MAD仿真结果都是一致估计值，当用FD-Tobit方法估计有个体效应的面板模型时偏差比用S-Tobit减少了80%。FD-Tobit方法的估计结果对个体特殊效应的变化敏感性比S-Tobit的弱。Zebel(1992)用同样的仿真方法验证了用FD-Tobit估计代替S-Tobit估计导致了效率损失。
    Jones & Labeaga(2003)用Becker et al(1994)的理性毒瘾模型，根据西班牙统计局家庭支出调查的面板数据对家庭居民的吸烟问题进行了分析。数据处理中遇到的问题主要集中在三个方面：误差测量、审查、不可观测的异方差。通过样本选择的方式，Jones等根据样本分割信息将从来不购买香烟的家庭从样本总体中除掉，购买支出的观测值为0表示家庭不常购买或者由于是审查数据的问题，Jones等在论文中分析了是否应该建立审查模型，用Tobit模型分析香烟消费行为的问题。在处理模型的异方差问题方面，Jones等对比了广义矩估计(GMM)、系统广义矩估计(system-GMM)方法的不同特点；在处理是否是审查模型方面，Jones对比了组内两阶段广义矩估计、组内三阶段广义矩估计、最小距离法(minimum distance methods)的优缺点。
    
    
    
    在实证部分，Jones & Labeaga分析了在不经常购买假设下，以滞后或者超前的香烟价格为工具变量，分别估计了水平工具变量的GMM、离差形式的工具变量GMM、系统GMM下各影响因素对当期消费量的影响。在审查模型假设下，分别用2SLS-GMM、3SLS-GMM、MD方法估计了理性毒瘾模型，证明了异方差，对香烟消费有重要影响，除掉审查变量容易导致内生变量存在样本选择性偏差。通过对折扣率及毒瘾程度的分析，Jones & Labeaga证明了在审查模型中被审查变量设置为0比不常购买这种假设下分析香烟消费量行为更符合经济现实情况。理性毒瘾模型的具体形式对不可观测的异方差与审查非常敏感，如果不能很好地解释异方差容易导致对毒瘾程度的过高估计，面板数据更需要解决修正异方差的问题。
    Bover & Arellano(1997)分析了针对受限因变量面板数据的组内两步估计法(two-step within-group)以及广义矩估计法(GMM)。组内两步估计法实际上是一种组内2SLS法，基本思路是：先对模型进行一阶差分或者纵向差分滞后，第一步估计具有渐进一致性的简化式方程，得到因变量的估计值，第二步将预测值回代到结构式方程用OLS估计法结构式方程的参数。GMM的基本思路是：先对模型进行一阶差分或者纵向差分滞后，第一步估计具有渐进一致性的简化式方程，得到因变量的估计值，第二步以预测值的水平值为工具变量估计整个结构式方程。Bover & Arellano(1997)指出，组内两步估计一般可以得到计算比较简单，有些情况下可以得到具有一致性和渐进有效性的结果，但是由于组内估计使用了非最大化的加权距离，所以从最小距离类型来看，组内两步估计非渐进有效，Bover & Arellano建议用GMM解决效率及一致性的问题。指出线性GMM法比最小距离法多估计一步，得到的结果更有效，但是这个方法的缺点在于它要求利用的是严格的外生变量，要求给出具体的随机效应的条件分布的具体形式。
    六、简要的结论
    国内外关于Tobit模型研究的文献非常多，本文并没有将这些文献全部列举出来，只是挑选了其中一部分经典文献，把这些经典文献的核心思想简单概括出来，供以后做此类问题分析的研究者参考。本文对Tobit模型的定义、分类、估计方法、模型结构形式等进行了详细的归类和介绍，有些知识点教材或者书籍中可能并未涉及到，而这些知识点在问题分析中非常重要，忽略这些细节可能导致对模型的错误理解和应用。面板数据Tobit模型、半参数模型Tobit模型是现在和未来Tobit模型应用的主要发展趋势，这使得Tobit模型的估计方法和对估计结果性质的推导等问题变得更加复杂，但无论Tobit模型的形式如何变化，现有的估计方法基本上都是在Heckman(1976)两步法的基础上扩展的。
    当然，Tobit模型也有自身无法克服的缺陷，Tobit模型估计要求两部分模型中解释变量不完全相同，另外系统模型假设随机变量是服从联合正态分布的，违背这两个基本假设，可能导致模型不可估计。Tobit模型在设定、估计与检验等理论方面寻求进一步的突破，在实践中结合日益丰富的微观数据进一步拓展应用领域，是未来重要的发展方向，也是大有可为的。
    参考文献：
    [1]雨宫健，2010：《高级计量经济学》，上海财经大学出版社。
    [2]李雪松，2008：《高级经济计量学》，中国社会科学院出版社。
    [3]白仲林，2009：《面板数据的计量经济分析》，南开大学出版社。
    [4]Ahn & Powell(1993), "Semiparametric estimation of censored selection models with a nonparametric selection mechanism", Journal of Econometrics 58: 3-29.
    [5]Amemiya, T.(1979), "The estimation of a simultaneous-equation Tobit model", International Economic Review(1): 169-181.
    [6]Amemiya, T.(1974)," Multivariate regression and simultaneous equation models when the dependent variables are truncated normal", Econometrica(6): 999-1012.
    [7]Amemiya, T.(1984), "Tobit model: A survey", Journal of Econometrics 24: 3-61.
    [8]Baltagi, B. H.(2010), Econometric Analysis of Panel Data, 4th edition, China Machine Press.
    [9]Blundell & Smith(1994), "Coherency and estimation in simultaneous models with censored or qualitative dependent variables", Journal of Econometrics 64: 355-373.
    [10]Bound, Jaeger & Baker(1995), "Problems with instrumental variables estimation when the correlation between the instruments and the endogenous explanatory variable is weak", Journal of American Statistical Association 430:443-450.
    [11]Bover & Arellano(1997), "Estimating dynamic limited dependent variable models from panel data", Investigaciones Economicas(2): 141-165.
    [12]Cameron, A. C.(2008), Microeconometrics Methods and Application, China Machine Press.
    [13]Duan, Manning & Newhouse(1984), "Choosing between the sample-selection model and the multi-part model", Journal of Business and Economic Statistics 2: 283-289.
    [14]Dubin & McFadden(1984), "An econometric analysis of residential electric appliance holdings and consumption", Econometrica(2): 345-362.
    [15]Dudley & Montmarquette(1976), "A model of the supply of bilateral foreign aid", American Economic Review(1):132-142.
    [16]Duncan, G. M.(1980), "Formulation and statistical analysis of the mixed, continuous/discrete dependent variable model in classical production theory", Econometrica(4):839-852.
    [17]Guariglia, A.(2001), "Saving behavior and earnings uncertainty: Evidence from the British household panel survey", Journal of Population Economics(4): 619-634.
    [18]Heckman, J.(1974), "Shadow price, market wages, and labor supply", Econometrica(4): 679-694.
    [19]Heckman, J.(1976), "The common structure of statistical models of truncation, sample selection and limited dependent variables and a simple estimator for such models", Annuals of Economic and Social Measurement(4):475-492.
    [20]Hsiao, C.(2007), Analysis of Panel Data, Peking University Press.
    [21]Jones & Labeaga(2003), "Individual heterogeneity and censoring in panel data estimates of tobacco expenditure",Journal of Applied Econometrics(2): 157-177.
    [22]Kalwij, A. S.(2003), "A maximum likelihood estimator based on first difference for a panel data Tobit models with individual specific effects", Economics Letters 81: 165-172.
    [23]Lee, Lung-Fei(1976), "Estimation of limited dependent variable models by two-stage method", PH D. Dissertation, Department of Economics, University of Rochester, Sept.
    [24]Lee, Lung-Fei(1978), "Estimation of some limited dependent variable models with application to housing demand", Journal of Econometrics 8: 357-382.
    [25]Lee, Lung-Fei(1979), "Identification and estimation in binary choice models with limited(censored) dependent variables", Econometrica(4): 977-996.
    [26]Lee, Lung-Fei(1999), "Estimation of dynamic and ARCH Tobit models", Journal of Econometrics 92: 355-390.
    [27]Leung & Yu(1999), "On the choice between sample selection and two-part models", Journal of Econometrics 72:197-229.
    [28]McDonald & Moffit(1980), "The use of Tobit analysis" ,Review of Economics and Statistics(2): 318-321.
    [29]Mroz, T.(1987), "The sensitivity of an empirical model of married women's hours of work to economic and statistical assumptions", Econometrica 55: 765-799.
    [30]Nawata, K.(1994), "Estimation of sample selection bias models by the maximum likelihood estimator and Heckman's two-step estimator", Economics Letters 45: 33-40.
    [31]Spence & Zeckhauser(1971), "Insurance information and individual action", American Economic Review(2): 380 -387.
    [32]Tobin, J.(1958), "Estimation of relationships for limited dependent variables", Econometrica(1): 24-36.
    [33]Wooldridge, J. M.(2010), Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data, 2nd edition, The MIT Press.