意料之外，“数理”之中！

内容提要：本文首先介绍“Parade Magazine”杂志1990年第9期上刊登的一则“有奖竞猜”游戏，然后用图形的方式给出此游戏的直观解释。
    关键词：有奖竞猜 统计学
    作者简介：刘乐平东华理工学院，江西344000；中国人民大学统计学系2000级博士生，北京100872
    玛利亚(Marilyn vos Savant)，一位被载入“吉尼斯世界记录从书”——“超级智商卷”的美国妇女，她在美国一家名叫“Parade Magazine”的杂志上开辟了一个每月专栏，取名为“请问玛利亚”(AskMarily)，专门登载诸如猜字、脑筋急转弯等有关提高智力技能的游戏。
    在“Parade Magazine”1990年的第9期上，玛利亚给出了这样一个十分简单（人人都能回答）但又非常复杂（让许多数学博士做错），且特别吸引人（引发成千上万的读者参与争论）的问题：
    “有奖竞猜”问题：假若你有幸参加一个电视台主办的有奖竞猜节目，台上有三扇门，在其中一扇门后停着一辆豪华轿车，另外两扇门后则各站着一只羊。规则很简单：你从三扇门中任意选中一扇，确认后打开，门后的奖品就归你！
    竟猜游戏分两步进行：主持人先让你选中一扇门，选好后告诉他是哪一扇（便于说明，假设你选中的的是第1号门）。这时，主持人再给你一次机会，他从剩余的两扇门中打开一扇，比如第2号门（或3号门），里面是一只羊，这时，主持人问你，你是否改变主意，换选第3号门（或2号门）。“换”还是“不”？换了你，面对豪华轿车和小山羊，你怎么“决择”？（考虑1分钟！）
    绝对意料中的回答——“不换”！笔者至少问过十位数学系的研究生，结果都是“英雄所见略同”：罗辑十分清楚，主持人给你打开了第2号门，只剩下两扇门可供选择，轿车在每扇门后的概率都是1/2，从概率观点来说，从长远角度（多次实验）来看，无论你坚持第1号门还是改变去选择第2号门，都有50%的机会开走轿车，50%的机会牵走山羊。“换”与“不换”是一样的！
    但是，玛利亚给出了“意料之外”的答案——“换，你应该换”！因为你第一次猜中轿车的概率是1/3，而你第二次赢得轿车的概率为2/3（不是1/2）。
    这“不可思议”的答案一经公布，立即引发了美国全国性的争论，数以千记的批评信件蜂拥而至，其中许多是来自美国各高等院所的数学博士们。
    谁是正确的？玛利亚还是博士们？不幸的是“可悲情景”发生了！
    为便于直观理解，我们用图形（图略，见原文）分以下步骤来解释：
    1.在节目录制之前，主持人随机地将轿车放在三扇门中的任意一扇门后，其余两扇留给羊。所有的放法如右图所示：
    此时，你（第一次）选择中车的概率为1/3（假定你对A、B、C主观认识相同）。
    2.现在考虑你第二次选择：假设（不妨假设）你第一次选择的是1号门，那么你中车的可能只有A情形发生，而B和C出现时你只有牵走羊了。选择结果如下图：（注：颜色较深表示你选择的目标。）
    这时，主持人给你打开一扇门，注意！
    A情形时：他随便开2号或3号（假定主持人此时是随机打开一扇门），
    B情形时：他只能开3号，
    C情形时：他只能开2号。
    （原因很简单，B和C时，主持人当然知道车在哪扇门后，也自然不会有意把“车门”给你打开，所以他只有唯一的选择！——这就是本问题的关键！）
    此时，若你坚持“不换”，你面对的情形如下（无标记图表示主持人已打开的门）：
    中车的概率还是1/3。
    但是，若你灵活改变策略——“换”，你选择的结果如下：
    中车的概率就变成2/3了。因为只有A发生时，你才不幸“换”错了，而B和C出现时，你就“换”的英明果断了。
    同理，当你第一次选择2号门或3号门时，结果完全同上。
    原因是什么呢？
    我认为可以从以下几个方面考虑：
    1.你坚持“不换”，你所选择的样本空间还是开始时的三种情况——三个样本点，一个有利场合。没有利用主持人给你的机会，所以“中车”的概率还是1/3。
    2.你改变选择——“换”，那么，你所选择的样本空间就变化了——三个样本点，二个有利场合（如上图所示）。
    3.为什么不是许多人想象的1/2呢？表面上看，主持人打开了一扇门，剩下了两扇门，一扇门里有车，另一扇门里有羊，车在每扇门后的概率都是1/2。但是仔细想想，此时，车和羊并不是“随机地”放在每个门后的，“机会”不是均等的，主持人这时给你的不是两扇门，而是三次机会，其中两次对你“改变选择””有利。仔细研究主持人给你打开门这个条件，你会发现，因为他事先已经知道车在哪扇门里，所以。你应该充分利用这个信息。
    最后声明一点虽然2/3比1/3，但是这并不能保证你一定能把车开走。不过，在希望着中大奖之前，尽量了解一些“数理统计”的知识，一定会增大你获奖的机会。祝你好运！
    参考文献：
    1McClave,James T.,Benson,P.George,and Sincich,Terry.Statistics for Business and Economics[M].Eighth Edition,Prentice-Hall,Englewood Cliffs,N.J.,2001.