阈值自回归模型参数估计的小样本性质研究（一）

内容提要：对阈值自回归模型(TAR)的参数进行估计，主要是采用Chan的条件OLS估计法。本文将阈值自回归模型分为不连续的TAR、不连续的冲量阈值自回归(M-TAR)和连续的TAR(C-TAR)三种模型，采用Monte-Carlo模拟技术分别研究其参数估计的小样本性质。结果表明：在小样本中，阈值和自回归参数估计都存在明显的偏差；阈值估计相对于自回归参数估计而言，显得更加不稳定，具有更大的偏差和标准差。进一步研究发现，数据过程均匀率和标准差是影响参数估计小样本性质的主要因素。
    关键词：TAR模型 Chan估计方法 偏差和标准差 Monte-Carlo模拟
    作者简介：刘汉中，湖南商学院经济与贸易学院。
    引言
    近年来时间序列研究表明：许多宏观经济变量存在非对称的(Asymmetric)调整机制，如失业率、国内生产总值(GDP)等许多宏观经济变量会随着经济周期呈现出非对称调整（Enders和Siklos，2001），这无疑为非线性时间序列建模的发展提出了客观要求。当处理这些非线性问题时，比如说对这些非线性动态进行建模时，采用全局线性动态模型来拟合是不合适的，如假定在一国的GDP增长中对扩张期和收缩期采用同一个线性自回归模型来拟合是不恰当的，因为在经济收缩期的GDP下降速度往往要快于扩张期的GDP恢复速度(Enders，2004)；对一个动物种群在扩张期和收缩期采用同一个自回归模型也是不合适的，如对加拿大山猫增长模型的许多研究就发现简单的线性自回归模型是不合适的(Tong，1990)；采用线性自回归模型来描述同一种商品在不同市场的价格之差也是不恰当的，因为不同市场存在套利，所以只有当两个价格差超过套利成本时才是平稳的，否则是非平稳的(Tasy，1989)。因此对经济时间序列进行非线性动态建模时，全局线性自回归模型是不稳定的，也是不合适的。
    作为一种主要的非线性建模工具——阈值自回归模型(Threshold Autoregressive Model，TAR)，相对于其他非线性模型而言，由于其存在设定、参数估计、经济意义解释、非对称极限周期和跳跃现象等优点，已经使TAR模型成为至关重要的非线性建模工具。TAR模型最初由Tong(1983)提出，后又对该方法做了系统的诠释(Tong，1990)。它的原理与方法是基于“分段”(Piecewise)线性逼近，即把状态空间分割成几个子空间，每个子空间上都采用不同的线性自回归模型进行逼近，其中的状态空间是由所谓的阈值(Threshold Value)来指定。TAR模型与线性自回归模型不同，它刻画了时间序列在不同机制(Regime)中呈现出不同的动态特征，即时间序列的非线性动态调整特征，因此相对于线性自回归(AR)模型而言，TAR模型能捕捉到这种非对称的动态调整特征，具有线性AR模型无法比拟的优势。事实上当不同机制中具有相同的动态调整时，TAR模型就变成了线性AR模型，从这个意义上来说线性AR模型是TAR模型的特例，因此TAR模型具有比线性AR模型更广泛的应用。
    尽管TAR原理与方法在时间序列分析中具有重要的应用价值，从目前有关文献来看，利用TAR模型研究各种经济与金融问题已经成为经济研究的重要手段之一，但是经过20多年的发展，TAR原理与方法还很不成熟，如TAR模型的检验问题，由于检验统计量的非标准形式、渐近分布中包含有未知的冗余参数(Unknown Nuisance Parameter)如阈值等原因，迄今为止还没有被学术界普遍接受的TAR检验方法。而对于TAR模型参数的估计，目前主要采用Chan(1993)所提出的估计方法，近十多年来也没有提出新的更好的参数估计方法。
    在TAR模型中，要估计的参数包括不同机制中自回归参数、转换变量滞后阶数、阈值等。Chan(1993)对具有不连续的两机制TAR模型的参数估计进行了系统研究，证明在给定转换变量滞后阶数和阈值的情况下，处于不同机制中自回归参数的OLS估计是一致估计量(Consistent Estimators)，收敛阶为（是第i个机制中样本观测个数），且在样本容量趋于无穷大时，自回归参数估计量渐近服从多元联合正态分布。而对于滞后阶数和阈值的估计，Chan(1993)认为通过TAR模型的残差平方和最小来搜索滞后阶数与阈值，在样本趋于无穷大时就可以获得两个参数的超一致估计量(Sup-Consistent estimators)，且收敛阶是（n表示总的样本容量），同时也和自回归参数的OLS估计量渐近独立。对于连续的两机制TAR模型参数估计，Chan和Tsay(1998)对有关参数的估计作了进一步研究，研究表明在连续的TAR模型中，通过搜索连续TAR模型的残差最小而得到的阈值估计量是一致估计量，不过此时的收敛阶是，而不再是，说明不连续是阈值估计获得超一致估计量的必备条件。同时Chan和Tsay(1998)也证明在样本趋于无穷大时，连续TAR模型的自回归参数估计量仍然服从多元联合正态分布。
    虽然Chan(1993)的参数估计方法目前已成为TAR模型参数估计的主要方法，但是对于阈值估计量抽样分布的研究进展非常缓慢。Chan(1993)首次推导了不连续TAR模型的阈值估计量渐近分布，认为阈值估计量的抽样分布是一个依赖于混合泊松过程(Compound Poisson Process)的极限分布，且依赖于未知的冗余参数。Hansen(1997，2000)对于不连续TAR模型的阈值估计量极限分布也进行了研究，并指出当阈值效应（Threshold Effect，指的是两机制中自回归参数之差）随着样本容量增大而减小时，阈值的极限分布不依赖于未知的冗余参数。Chan和Tsay(1998)针对连续TAR模型的阈值估计量渐近分布进行了推导，认为此时的极限分布是正态分布，但依赖于其他自回归参数，这与Chan(1993)不同，在不连续的TAR模型中，阈值估计量的抽样分布独立于其他自回归参数。
    综上所述，TAR模型参数的估计只有在样本容量趋于无穷大时才具有一致性，而在实际的经济分析中，样本容量往往都较小，因此对TAR模型参数估计方法的小样本性质研究十分必要。Kapetanios(2000)对TAR模型的阈值估计量在小样本中的性质进行了研究，认为阈值的估计缺乏有效性。Coakley等(2003)通过各种数值计算方法，在小样本情况下可以提高TAR模型阈值估计的有效性。Norman(2008)也对两机制的TAR模型阈值估计的有偏性进行了研究，认为当两机制中数据分布不均匀时，阈值估计具有系统性的小样本偏差。本文在上述研究成果的基础上，运用Monte-Carlo模拟方法研究连续和不连续TAR模型参数估计小样本性质，包括有偏性与有效性。以前的研究主要集中在不连续TAR模型阈值估计的小样本性质，而本文一方面是不仅研究不连续的TAR模型，还要研究连续的TAR模型和冲量阈值自回归模型（Momentum Threshold Autoregressive Model，即M-TAR，Enders和Granger，1998）；另一方面是不仅研究阈值的小样本性质，还要对自回归参数估计的小样本性质进行研究。
    本文的框架如下：第一部分主要介绍不连续的TAR模型、连续TAR和M-TAR模型的参数估计方法；第二部分主要是小样本性质研究的Monte-Carlo模拟试验设计；第三部分是文章的结论。
    一、各种TAR模型及其参数估计
    1.各种TAR模型的设定
    
    (3)冲量阈值自回归模型(M-TAR)。冲量阈值自回归模型由Enders和Granger(1998)引入经济分析，与TAR模型的主要区别在于转换变量不同。在TAR模型中以滞后时间序列作为转换变量，而在M-TAR中，转换变量不再是滞后时间序列，而是滞后时间序列变化量。即M-TAR具体形式为：
    
    
    Chan(1993)已经证明：在阈值和滞后阶数已知的情况下，自回归系数估计量在样本容量趋于无穷大时服从多元联合正态分布，且是真实自回归系数的一致估计量。而在实际的经济学应用中，阈值和滞后阶数通常都未知，因此要估计(7)式必须要先估计γ和d，Chan(1993)提出用以下(8)式与(9)式来估计：
    
    即(8)式是在TAR模型的拟合下，使得残差平方和最小时阈值和d的估计，(9)式是(3)式的OLS估计残差，此时TAR的自回归参数的估计为(10)式，是阈值的供给量，通过(8)式而得到。Г和D分别表示阈值γ与滞后阶数d的潜在取值范围，在实际计算中可以通过在Г×D范围内搜索OLS估计残差平方和的最小值来求得d和γ，进而可以得到自回归参数OLS估计。具体的计算过程如下：首先以Г×D范围内第一点开始作为阈值和d的值；然后在阈值和d的值下，对(3)式进行OLS估计，求得残差平方和；最后在潜在的Г×D范围内搜索每一点（γ，d）的残差平方和，使残差平方和取最小时的参数估计值就是TAR模型的参数估计。
    对于阈值γ的潜在取值范围Γ与滞后阶数d的潜在取值范围D的确定，从目前的文献来看，一般都是采用Andrews(1993)的方法来构造潜在区间。Andrews(1993)认为：滞后阶数d≤p，即在1，2，…，p范围内确定d的值，P表示TAR模型的自回归阶数。而对于Γ的确定，Andrews(1993)认为一般首先对转换变量从小到大进行排序，然后取中间一定百分数转换变量作为潜在阈值范围。Andrews(1993)认为取中间70%的转换变量作为潜在阈值是合适的，因此在本文中取转换变量的15%和85%作为阈值范围，在这个范围内搜索残差平方和的值。下面是Chan(1993)关于TAR模型参数估计量的性质及其抽样分布定理。
    定理1：(Chan，1993)假设(3)式中的是具有P阶自回归的两机制TAR模型，并且是遍历的、严平稳的，且具有有限二阶矩，假定的联合密度函数处处为正，则上面TAR模型的所有参数估计量都是强一致的(Strongly Consistent)，即在大样本情况下，上述所有估计量都几乎处处收敛于真实参数。
    
    上面两个定理充分说明上述估计方法能保证所有参数估计量都是一致估计量，只是收敛阶不同，d和γ的收敛阶是，其他自回归参数估计量都是具有的收敛阶（n表示总的样本容量，表示第i个机制中样本容量）。另外由于自回归参数的条件OLS估计量（按照阈值和d的估计方法求得阈值与d的估计值，以估计的阈值和d为条件对回归模型的自回归参数进行OLS估计，被称为条件OLS估计）渐近服从多元正态分布，因此在大样本情况下可以对自回归参数进行标准的显著性检验（如t检验、F检验等）。
    从定理2可以看出，只有在不连续的TAR模型下，阈值γ和滞后阶数d的估计量才是超一致估计量。而在连续TAR模型下，Chan和Tsay(1998)对上述估计方法做了系统研究，认为在样本容量趋于无穷大时，C-TAR模型的参数估计仍然是强一致估计量，即所有参数估计量几乎处处收敛于真实参数，且收敛阶是，n是样本容量。同时他们也发现所有参数估计量服从多元正态分布，且阈值和滞后阶数估计量的渐近分布与自回归参数估计量渐近分布不独立，这与不连续的TAR模型参数估计情形不同。
    在实际经济分析中，由于TAR模型与M-TAR模型的唯一区别是不同的转换变量，因此对于这些模型的参数估计只要区分连续与不连续情形即可。鉴于此，不管是连续的TAR模型或不连续的TAR模型，还是M-TAR模型或CM-TAR模型，都可以采用Chan(1993)的TAR模型的参数估计方法，都可以得到参数的强一致估计量。不同的是：①参数估计量的收敛阶不同，在不连续情形中阈值估计量收敛较快。②在不连续情形中，阈值估计量渐近分布要比连续情形中的阈值估计量渐近分布复杂得多。③在不连续情形中，阈值估计量渐近分布渐近独立于自回归参数估计量渐近分布；在连续情形中，阈值估计量渐近分布不与自回归参数估计量渐近分布独立。