贝叶斯视角下时变参数VAR建模（下）——兼论“斜率之谜”

    
    
    
    （2）多变量的随机波动。多变量的随机波动并不比单变量的更为复杂，理解了单变量随机波动，理解多变量随机波动就要容易得多。
    
    
    
    其中，表示下三角矩阵矩阵L第i行第j列元素。每一个方程都是一个标准的线性正态方程，而且他们之间互不相关，所以可以对他们单独一个一个方程抽样，抽样的分布由式（4）给出。
    上述多变量随机波动抽样是由Cogley和Sargent（2005）在文中提出的。Primiceri（2005）也提出了一种多变量随机波动抽样的办法，他进一步放松假设，令L也是时变的，在本质上，他的这种放松，使对L的抽样不再是单方程的标准抽样，而是一个标准的线性状态空间模型的抽样，这种抽样的分布，我们在前面也多次提到了，限于篇幅，我们不再在此处详述该类多变随机波动的抽样，有兴趣者可以参见Primiceri（2005）。
    当获得了多变量随机波动的抽样方法，再联合TVP-VAR模型的系数抽样，就可以获得TVP-VAR-SV模型所需的后验分布。
    二、实证分析
    在前言中，我们提到过TVP-VAR模型最大的优点就在于能够捕捉经济系统的平滑变化。而这一点，由于中国渐进式的改革进程，使得该类模型在捕捉中国宏观总量时间序列特征方面具备了天然的优势。
    我们使用TVP-VAR模型④对徐高（2008）中的数据重新进行了拟合，以检查徐高（2008）在文中提出的斜率之谜现象，类似地，我们使用了与徐高（2008）一样的长期约束识别，具体识别细节可以参见Blanchard和Qauh（1989）。同时考虑到徐高（2008）的样本量过少，可能会影响到结果的稳健性，我们又针对1992年第1季度至2011年第1季度的季度数据再次进行了回归。要注意的是，因为系数是时变的，实证结果中各期的脉冲响应应该不同。
    现在我们将TVP-VAR模型应用到徐高（2008）的数据集（1978-2006年的年度数据）变量依然是真实GDP对数差分及GDP平减指数变化率。
    1.1978-2006年度数据拟合
    该数据集只有29期观测值，而且由于差分过，实际进入模型的只有28期观测值。而前述贝叶斯估计需要首先提取一些样本进行先验分布的设定。考虑到模型的稳定性，我们选择了前面一半13期的数据来设置先验分布参数。模型仍然选择两阶滞后，具体如下：
    
    估计时，我们进行了70000次Gibbs抽样，并舍弃前面20000次抽样数据，获得1994-2006年各期系数估计。这里，我们给出1994年、2000年和2006年对应的识别矩阵C（见表1）和脉冲响应（见下页图1）。
    
    
    从图1可以看出，各期脉冲响应变化不是非常大。但无一例外，“斜率之谜”都消失了。GDP的脉冲响应都是有符号标识的实线，它们均为正值，意味着在正向需求或者供给冲击下，GDP都上升了，明显地，GDP对需求冲击的响应要更为迅速、敏感，并出现了常见的驼峰态，在第二期达到了峰值，随后回落至0。GDP对供给冲击的响应是持久的。实际上，GDP的这种脉冲响应的形状与Blanchard和Quah（1989）大体一致。价格水平对需求和供给冲击的响应也符合经典经济理论，在需求冲击下上升了，供给冲击下下降了。
    2.1992年第1季度至2011年第1季度数据拟合
    为保持结果的稳健性，我们将样本期扩展到1992年第1季度至2011年第1季度，再次进行了拟合。该数据集观测样本有77个，实际GDP对数和GDP平减指数都用X12进行了季节处理，经检验均为一阶单整序列，差分后进入模型，我们选择了二阶滞后，模型同式（16）。
    类似地，我们选择了前面13期数据作最小二乘回归来获得应有的先验信息，然后开始后验分布估计，进行了70000次Gibbs抽样，舍弃前面20000次抽样数据，得到各期系数估计。此处，我们给出1996年第1季度、2003年第3季度和2011年第1季度对应的识别矩阵C（见表2）和脉冲响应图（见图2）。
    
    
    从图2可以看出，各期响应的形态十分类似，但“斜率之谜”现象依然没有出现。物价水平对需求冲击的响应最大，其次为GDP对供给冲击的响应，GDP对需求冲击的响应没有出现太大的波动，大约10期后趋于0，物价水平对正向供给冲击的响应是负向。同时，与许多研究类似，需求冲击更多地影响了物价水平而不是GDP。
    三、结论
    在贝叶斯估计框架下，从先验设定到后验估计，本文详细阐述了TVP-VAR模型和TVP-VAR-SV模型的建立过程。由于我们国家的经济改革是渐进式的，经济系统中很多经济变量，特别是一些总量概念的变量，它们的结构存在平滑变化应该是不难理解的。而传统的VAR模型往往难以捕捉这种经济特征。但TVP-VAR或者TVP-VAR-SV模型则允许拟合的模型系数在时间上存在平滑转变，相对一般传统的VAR模型，时变参数VAR模型应该更加符合中国实际。特别地，我们针对徐高（2008）提出的“斜率之谜”，做出了经济系统的结构可能存在平滑变化的猜想。为验证该想法，我们利用TVP-VAR模型对徐高（2008）的数据集进行了拟合，发现“斜率之谜”消失了。同时，考虑到徐高（2008）的样本量过少可能会影响结果的稳健性，我们又使用了1992年第1季度至2011年第1季度的季度数据再次进行了拟合，“斜率之谜”现象依然没有出现。
    实际上，由于传统的VAR模型无法捕捉经济系统的平滑变化，所以在拟合中国宏观总量数据方面其存在一定的缺陷。而TVP-VAR或者TVP-VAR-SV模型则恰好克服了这一缺点，在宏观时间序列研究中它显得更加适合。因此，TVP-VAR或者TVP-VAR-SV模型的引进对于提高我国宏观实证研究水平具有重大意义。
    注释：
    ①在贝叶斯经典文献中，一般使用∑的逆的形式，这会使很多表述更为方便简洁。
    ②Tsay（2005）第十二章对MCMC算法提供了一个通俗而精炼的讲解。
    ③平凡先验在参数估计较多而样本期较短的情况下，很难得到精确的参数估计。
    ④此处我们未使用TVP-VAR-SV模型，在国外，使用带随机波动的TVP-VAR模型，更多的是因为美国20世纪80年代前后很多经济变量的波动性发生了明显的变化。就我国而言，经济增长和通胀率的波动并没有那么明显，而且对于我们不多的样本数据，一旦考虑∑的时变，将会多出几十个参数需要估计。
    参考文献：
    [1]Blanchard O. and Quah D., 1989, The Dynamic Effects of Aggregate Supply and Demand Disturbances[J].American Economic Review, 79, 655～673.
    [2]Carter C. K. and Kohn R., 1994, On Gibbs Sampling for State Space Models[J]. Biometrika, 81, 541～553.
    [3]Cogley T. and Sargent To Jo, 2001, Evolving Post-World War Ⅱ US Inflation Dynamics[J].NBER Macroeconomics Annual, 16, 331～373.
    [4]Cogley T. and Sargent T. J., 2005, Drift and Volatilities: Monetary Policies and Outcomes in the Post WW Ⅱ US[J].Review of Economic Dynamics, 8, 262～302.
    [5]Jacquier Eo, Poison N. G. and Rossi P. E., 1994, Bayesian Analysis of Stochastic[J]. Journal of Business & Economic Statistics, 12(4), 69～87.
    [6]Kim S. and Shephard N., 1998, Stochastic Volatility: Likelihood Inference and Comparison with ARCH Models[J].Review of Economic Studies, 65, 361～393.
    [7]Primiceri G. E., 2005, Time Varying Structural Vector Autoregressions and Monetary Policy[J].Review of Economics Studies, 72, 821～852.
    [8]高士成：《中国经济波动的结构分析及其政策含义：兼论中国短期总供给和总需求曲线特征》[J].《世界经济》2010年第9期。
    [9]徐高：《斜率之谜：对中国短期总供给/总需求需求曲线的估计》[J].《世界经济》2008年第1期。